一些基础的数论知识

Preface

• 这个专题主要用于记录一些比较基础的，有意义的，数学知识，且不做深入研究，等有时间，再把对应的习题，及一些深入拓展的知识补上.

1.GCD与LCM

• 这是一个非常简单的知识点.

• 通常定义如下：

  • (n,m)表示n,m的最大公约数.

  • [n,m]表示n,m的最小公倍数.

1.1 GCD

• 我们求GCD有很多种方法，常见的有以下几种：

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1.1.1 GCD辗转相除法

• 原理：GCD(X,Y)=GCD(X,X−Y)

• 时间复杂度证明：一次mod至少会减半，所以级别为log2

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1.1.2 二进制算法（更相减损术）

• 先去除所有的公共2因子，然后通过GCD(x,y)=GCD(x,x−y)来做，时间复杂度堪忧.

• 另外，还有一种方法叫做：Stein

1.1.3 LCM

• 求LCM(a,b)可以直接用a∗b/GCD(a,b)得到.

1.2 扩展GCD

• 拓展gcd是用于给定一组(x,y)，让你求(p,q)，使得p∗x+q∗y=gcd(x,y)

1.2.1 用GCD拓展求

• 这个很好求，我们直接在回溯时，让x=y,y=x−a/b∗y即可.

• 证明：

  • a′x+b′y=Gcd(a′,b′)

  • b′x+(a′−a′/b′∗b′)y=Gcd(a′,b′)=Gcd(a,b)

  • ay+b(x−a/b∗y)=Gcd(a,b)

1.2.2 求解线性同余方程

• 我们要求a∗x+b∗y=c，前提是GCD(a,b)|c

• 我们可以先用拓展gcd求得一组解，然后乘上c/GCD(a,b)即可.

1.2.3 线性同于方程的最小正整数解

• 设(x,y)为a∗x+b∗y=c的一组解.

• 其通解为（x+b∗n，y−a∗n），故如果相求x的最小整数解，直接用(x%b+b)%b即为答案.

• y同理.

2.逆元

• 逆元的定义：若a⋅x≡1(mod m)，前提GCD(x,m)=1

• 我们知道，因为(ans∗a∗x)≡1(mod m)，所以，我们不乘a，相当于除了个a，故(ans∗x)≡1(mod m)等于除了一个a

2.1 扩展GCD求解

• 根据逆元的定义，我们可以把问题转化为a⋅x+b⋅m=1，因为gcd(x,m)=1，所以方程一定有解.

2.2 费马小定理

• 当然，还有一种方法，可以求逆元，那就是费马小定理.

• 费马的证明很好证，运用完全剩余系的性质即可.

2.3 线性求逆元

• 当然，这同时也是一种O(log2n)的方法求逆元.

3.中国剩余定理

• 中国剩余定理是用来求
  x≡a1(mod m1)
  x≡a2(mod m2)
  ……
  x≡an(mod mr)

模线性方程组的解.

• 满足，m1,m2……mr两两互质，且M=∏mi.

• 则满足条件的解x为：

• 证明是很显然的：

  • 任意一个式子带进去模mi，其余aj∗Mj∗M−1j的会被mod掉，而Mi∗M−1i=1.

  • 需要注意的地方有，我们每次算完Mi∗Mi−1时并不能mod mi，这样子其余的Mj才能被当前的mi给模掉.

• 费马小定理求逆元

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#define ll long long#define Maxn 1000#define fo(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)using namespace std;ll n,i,ans,M;ll p[Maxn],m[Maxn];ll ksm(ll x,ll y,ll p){    if (y==-1) return 0;    ll ans=1;    while (y){        if (y&1) ans=(ans*x)%p;        x=(x*x)%p;        y>>=1;    }    return ans;}int main(){    scanf("%lld",&n);    fo(i,1,n)        scanf("%lld%lld",&m[i],&p[i]);                  M=1;    fo(i,1,n)        M*=m[i];    fo(i,1,n)        ans = (ans + (M/m[i]) * ksm(M/m[i],m[i]-2,m[i]) * p[i]) % M;    printf("%lld",(ans%M+M)%M);}

• EXgcd求逆元

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#define ll long long#define Maxn 1000#define fo(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)using namespace std;ll n,i,ans,M;ll p[Maxn],m[Maxn];void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if (b==0){        x=1, y=0;        return;    }    Exgcd(b,a%b,x,y);    ll t=x; x=y, y=t-y*(a/b);}int main(){    scanf("%lld",&n);    fo(i,1,n)        scanf("%lld%lld",&m[i],&p[i]);    M=1;    fo(i,1,n)        M*=m[i];    fo(i,1,n)    {        ll x,y, Mi=M/m[i];        Exgcd(Mi,m[i],x,y);        ans = (ans + Mi * x * p[i]) % M;    }    printf("%lld",(ans%M+M)%M);}

4.求斐波那契通项公式的一种简单方法

5.欧拉函数

• 三个重要性质：

  • φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)∗pk−1

  • φ(x∗y)=φ(x)∗φ(y)|x，y互质

    • 此性质证明稍微复杂

    • 

    • 可以构造一个n∗m的矩阵，每一个数都可以用km+r|(1<=r<=m,1<=k<n)表示.

    • 那么对于每一列，因为gcd(km+r,m)=gcd(r,m)，所以有φ(m)列可能与n∗m互质.

    • 同理，每一列中n个数模n之后可以构成一个完全剩余系，其中恰好有φ(n)个数与n互质，既然模n后与n互质，那么不模肯定也互质，同理，不互质的不模也不互质.

    • 所以总共有φ(n)∗φ(m)个数与n∗m互质，即

      φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)

  • ③φ(n)=n∗∏ri=1(1−1pi)

    • 这个通过前两个定理可以很容易证明.

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欧拉定理：

• 对于互质的正整数a,n，有aφ(n)≡1(mod n)

  • 证明：

    • 第一步：
      令

      Zn=x1,x2,...,xφ(n)
      S={(a∗x1)mod n,(a∗x2)mod n,...,(a∗xφ(n))mod n}
      则
      Zn=S
      
      ①因为a,n互质，xi(1≤i≤φ(n)) 与 n互质， 所以 a∗xi 与 n 互质，所以(a∗xi) mod n∈Zn
      ②若i≠j ， 那么xi≠xj，且由 a,n互质可得 (a∗xi) mod n≠(a∗xj) mod n

    • 第二步：

aφ(n)∗x1∗x2∗...∗xφ(n)mod n

≡(a∗x1)∗(a∗x2)∗...∗(a∗xφ(n))mod n

≡(a∗x1mod n)∗(a∗x2mod n)∗...∗(a∗xφ(n)mod n)mod n

≡x1∗x2∗...∗xφ(n)mod n

• 由消去律可得
  aφ(n)≡1mod n

莫比乌斯反演

• 学之前，以为这是一个很高深的东西，但其实，只要仔细推一下，问一下大佬，并不是很难…

基本公式

• f(n)=∑d|ng(d)⇒g(n)=∑d|nf(nd)∗μ(d)

• 证明需要用到两个基本性质

莫比乌斯函数

• μ的定义如下

• μ(n)中，将n分解质因式，n=pq11∗pq22∗⋯∗pqkk

• 只要存在一个qi>2，那么μ(n)=0

• 否则μ(n)=(−1)k

两个基本性质

• 性质一

  • 对于任意正整数n，有
    ∑d|nμ(d)=⎧⎩⎨0,1,n>1n=1
  • 证明只需运用μ的性质以及组合数即可.

• 性质二

  • μ(n)为积性函数

  • 证明只需分类讨论一下.

反演的证明：

g(n)=∑d|nf(nd)∗μ(d)

⇓

g(n)=∑d|nμ(d)∑i|ndg(i)

⇓

g(n)=∑d|nμ(d)∑i⋅d|ng(i)

⇓

（只要满足i,d乘积为n的约数即可.）

g(n)=∑d|ng(d)∑i|ndμ(i)

⇓

• 根据性质一可得当d=n时，式子∑i|ndμ(i)值为1，其余为0，所以得证.

一个变形

• f(i)=∑d=1nig(d∗i)⇒g(i)=∑d=1nif(d∗i)μ(d)

• 证明同样可以参照上面，一样的思路.

  g(i)=∑d=1nif(d∗i)μ(d)
  ⇓
  g(i)=∑d=1niμ(d)f(d∗i)
  ⇓
  g(i)=∑d=1niμ(d)∑d′=1nd∗ig(d′∗d∗i)
  令T=d′∗d
  ⇓
  g(i)=∑T=1nig(T∗i)∑d|Tμ(d)

• 同理，由性质一可得当T=1时，∑d|Tμ(d)值为1，其余为0，所以得证.

• 其中，最后一步的式子，我是这么理解的：

  • 首先，T的取值范围一定是在1∼n/i的.

  • 其次，对于这样的一个T，有多少个d可以更新它呢？

  • 显然，就是d|T个.

6.同余

• 剩余类：

  • 整数除n后得到n个不同的余数，即{0,1,2,...,n−1}.

  • 把所有被n除后余数相同的一些数称为n的一个剩余类，可知对于整数n，有且只有n个剩余类.

• 完全剩余系：

  • 从n的n个剩余类当中每类选取1个数出来，组成的序列称为n的完全剩余系.

• 简化剩余系（即既约剩余系）：

  • 在模数与n互质的剩余类中每类选取1个数出来，组成的序列称为n的简化剩余系.

有关同余的一些性质：

• 定理①：若m|(a−b)，则a≡b (mod m)

  • 可设a=xm+r,b=ym+r，即可得证.$

• 通过定理①，可以得出如下性质：

  • 性质1、有a≡b (mod m)，则有b≡a (mod m)

  • 性质2、有a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则有a≡c (mod m)

  • 性质3、有a≡b (mod m)，c≡d (mod m)，则有ac≡bd (mod m)及a+c≡b+d (mod m)

  • 性质4、有a≡b (mod m)，则有an≡bn (mod m)

  • 性质5、有ac≡bc (mod m)，(c,m)=1，则有a≡b (mod m)

    • 证明：

    • ac−bc≡0 (mod m)，则(a−b)c≡0 (mod m)

    • ∵(c,m)=1.

    • ∴(a−b)≡0 (mod m)