leetcode题解-483. Smallest Good Base

题目：

For an integer n, we call k>=2 a good base of n, if all digits of n base k are 1.Now given a string representing n, you should return the smallest good base of n in string format. Example 1:Input: "13"Output: "3"Explanation: 13 base 3 is 111.Example 2:Input: "4681"Output: "8"Explanation: 4681 base 8 is 11111.Example 3:Input: "1000000000000000000"Output: "999999999999999999"Explanation: 1000000000000000000 base 999999999999999999 is 11.Note:The range of n is [3, 10^18].The string representing n is always valid and will not have leading zeros.

本题是寻找一个数最小的good base。其定义是对于一个数y，其x进制表示为全1，则称x是y的good base。应该比较好理解，其实就是将y写成1+x+x^2+...+x^(n-1)，就是一个等比数列求和，于是我们可以将其转化为y = (x^n - 1)/(x - 1)，其中x>=2, 3<y<10^18,为了寻找最小的x，我们可以先来确定一下n的取值范围，很明显x越小n越大，所以当x=2时，n最大为log2(y+1)。从第三个例子可以看出来，当x=y-1时，n最小为2。所以有了n的取值范围我们就可以遍历所有可能的n，然后每次循环中y和n都是确定值，在对x使用二叉搜索确定其值即可。

另外一个需要注意的问题就是，因为本题中的数都比较大，所以要注意溢出问题，之前也做过一到这种题，可以使用java内置的BigInteger类进行处理。代码如下所示：

    public static String smallestGoodBase(String n) {        //现将字符串解析成long型数据        long s = Long.parseLong(n);        //对所有可能的指数n进行遍历        for(int max_e=(int)(Math.log(s)/Math.log(2)) + 1; max_e>=2; max_e--){            long low=2, high=s, mid;            //进行二叉搜索，寻找最小的good base。            while(low <= high){                mid = low + (high - low)/2;                //一开始没有使用BigInteger，会报错                BigInteger left = BigInteger.valueOf(mid);                left = left.pow(max_e).subtract(BigInteger.ONE);                BigInteger right = BigInteger.valueOf(s).multiply(BigInteger.valueOf(mid).subtract(BigInteger.ONE));                int cmr = left.compareTo(right);                if(cmr == 0)                    return String.valueOf(mid);                else if(cmr > 0)                    high = mid - 1;                else                    low = mid + 1;            }        }        return String.valueOf(s-1);    }

上面这种方法效率比较低，还在网上找到了下面这种解决方案，首先说前面三行，一个是使用内置方法将字符串转化为long型整数，一个是写循环，测试结果发现第二种效果更好==，其次使用这种方法可以击败98%的用户，原因是其在二叉搜索的过程中的上限取的是Math.pow(num, 1.0/p) + 1，相比num本身小了很多，所以大大节省了时间。

    public String smallestGoodBase1(String n) {        long num = 0;        for (char c : n.toCharArray()) num = num * 10 + c - '0';        //long num = Long.parseLong(n);        long x = 1;        for (int p = 64; p >= 1; p--) {            if ((x << p) < num) {                long k = helper(num, p);                if (k != -1) return String.valueOf(k);            }        }        return String.valueOf(num - 1);    }    private long helper(long num, int p) {        long l = 1, r = (long)(Math.pow(num, 1.0/p) + 1);        while (l < r) {            long mid = l + (r - l) / 2;            long sum = 0, cur = 1;            for (int i = 0; i <= p; i++) {                sum += cur;                cur *= mid;            }            if (sum == num) return mid;            else if (sum > num) r = mid;            else l = mid + 1;        }        return -1;    }