2012NOIP普级组第四题－－文化之旅（参考洛谷题解）

一、题目描述

有一位使者要游历各国，他每到一个国家，都能学到一种文化，但他不愿意学习任何一种文化超过一次（即如果他学习了某种文化，则他就不能到达其他有这种文化的国家）。不同的国家可能有相同的文化。不同文化的国家对其他文化的看法不同，有些文化会排斥外来文化（即如果他学习了某种文化，则他不能到达排斥这种文化的其他国家）。

现给定各个国家间的地理关系，各个国家的文化，每种文化对其他文化的看法，以及这位使者游历的起点和终点（在起点和终点也会学习当地的文化），国家间的道路距离，试求从起点到终点最少需走多少路。

输入输出格式

输入格式：

第一行为五个整数 N，K，M，S，T，每两个整数之间用一个空格隔开，依次代表国家个数（国家编号为 1 到 N），文化种数（文化编号为 1 到 K），道路的条数，以及起点和终点的编号（保证 S 不等于 T）；

第二行为 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，其中第 i个数 Ci，表示国家 i的文化为 Ci。

接下来的 K 行，每行 K 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，记第 i 行的第 j 个数为 aij，aij= 1 表示文化 i 排斥外来文化 j（i 等于 j 时表示排斥相同文化的外来人），aij= 0 表示不排斥（注意 i 排斥 j 并不保证 j 一定也排斥 i）。

接下来的 M 行，每行三个整数 u，v，d，每两个整数之间用一个空格隔开，表示国家 u与国家 v 有一条距离为 d 的可双向通行的道路（保证 u 不等于 v，两个国家之间可能有多条道路）。

输出格式：

输出只有一行，一个整数，表示使者从起点国家到达终点国家最少需要走的距离数（如果无解则输出-1）。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 2 1 1 2 1 2 0 1 1 0 1 2 10 

输出样例#1： 复制

-1

输入样例#2： 复制

2 2 1 1 2 1 2 0 1 0 0 1 2 10 

输出样例#2： 复制

10

说明

输入输出样例说明1

由于到国家 2 必须要经过国家 1，而国家 2 的文明却排斥国家 1 的文明，所以不可能到达国家 2。

输入输出样例说明2

路线为 1 -> 2

【数据范围】

对于 100%的数据，有 2≤N≤100 1≤K≤100 1≤M≤N2 1≤ki≤K 1≤u, v≤N 1≤d≤1000 S≠T 1≤S,T≤N

NOIP 2012 普及组 第四题

二、解题思路

首先说一下什么叫单源最短路径问题：
给定一个带权有向图G=（V,E），其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。（摘自百科）
这个题算是正儿八经的单源最短路径问题，因为图中边上的权值不可能为负值，所以采用dijkstra算法：
dijkstra算法采用贪心策略，下面进行图解

准备：我们需要一个b数组作为一个集合用来表示已经达到最优的点，b[i]=0表示编号为i的点在集合外；

一个dis数组表示距离，dis【i】表示出发点到i的最短距离，dis初始化为-1；

1，b【1】=1（1到1距离为0，已达到最优），然后从出发点点1开始找到目标点能到达的点2,3并更新dis数组；

从中选择距离出发点最近的点3（即从b数组为0，d值最小且不为0的点中选一个点）；

2，b【3】=1，从能从3到达的b【i】=0的点中进行下一步操作；分两种情况，dis为-1和不为-1；如点5的dis值为-1，辣么d[5]=map[5][3]+d[3]=10+1=11; 如dis[2]=4,dis[2]=min(dis[2],map[2][3],+d[3])=min(4,5)=4;

目的就是利用第1，步找到的距离目标点最近的点来尝试优化当前的路径；

3，从b数组为0，d值最小且不为0的点中选一个点（1,3 b数组值已为1），选出点2；

4，重复第二步b【2】=1；

从能从3到达的b【i】=0的点中进行下一步操作；分两种情况，dis为-1和不为-1；如点4的dis值为-1，辣么d[4]=map[4][2]+d[2]=2+4=6; 如dis[5]=11,dis[5]=min(dis[5],map[2][5],+d[2])=min(11,1+4)=5;

直到所有的点b数组值为1，输出dis数组就是初始点到每一个点的最近路径长度

三、参考代码

#include<cstring>  

#include<cmath>  

#include<iostream>  

#include<climits>  

using namespace std;  

const int L=110;  

int C[L],vis[L][L],map[L][L],dis[L];// 文化值数组，文化是否冲突数组 地图  出发点到每个点的最短距离数组   

bool b[L]; // 点是否最优判断数组   

int main(){  

    memset(map,0,sizeof(map));  

    int N,K,M,S,T;  

    cin>>N>>K>>M>>S>>T;  

    for(int i=1;i<=N;i++)cin>>C[i];  

    for(int i=1;i<=K;i++)for(int n=1;n<=K;n++)cin>>vis[i][n];  

    for(int i=1;i<=M;i++){  

        int x,y,d;  

        cin>>x>>y>>d;  

        map[x][y]=d;  

        map[y][x]=d;  

    }  

    memset(dis,-1,sizeof(dis));  

    //数据初始化  

    for(int i=1;i<=N;i++){  

        if(i==S)dis[i]=0;  

        else if(map[S][i]!=0){  

            if(vis[C[i]][C[S]]==0)dis[i]=map[S][i];//初始化   

        }  

    }  

    b[S]=1;// 初始化   

    for(int i=1;i<N-1;i++){  

        int xmin=INT_MAX,k=-1;  

        for(int n=1;n<=N;n++)if(!b[n]&&xmin>dis[n]&&dis[n]!=-1){  

            xmin=dis[n];  

            k=n; //挑出的最近的点   

        }  

        if(k==-1)continue;  

        //利用挑出的点进行优化   

        b[k]=1;  

        for(int n=1;n<=N;n++)if(!b[n]&&map[n][k]!=0&&vis[C[n]][C[k]]==0){  

            if(dis[n]==-1)dis[n]=dis[k]+map[n][k];  

            else dis[n]=min(dis[n],dis[k]+map[n][k]);  

        }  

    }  

    cout<<dis[T];  

    return 0;  

}   

 

 

（2）FLOY最短路径算法（洛谷90分）

#include<iostream>    #include<cstdio>    #include<cstring>    #include<string>    #include<algorithm>    #include<cmath>    #include<cstdlib>    #include<queue>    #include<stack>    #include<map>      #include<vector>      #include<functional>      using namespace std;  int culture[111],hate[111][111],n,m,k,start,finish,dis[111][111],a,b,c;  int main()  {      for(int i=1;i<=100;i++)          for(int j=1;j<=100;j++)              if(i!=j) dis[i][j]=12345678;    //初始化顶点    scanf("%d %d %d %d %d",&n,&m,&k,&start,&finish);   //输入N个国家 M种文化，K条路，起点，终点    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&culture[i]);  //初始每个国家的文化值    for(int i=1;i<=m;i++)          for(int j=1;j<=m;j++)              scanf("%d",&hate[i][j]);    //输入各个国家是否通行（取决hate值 0为可以，1为不可以）    for(int i=1;i<=k;i++)     //K条路，相当于K条边    {          scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);    // a b为两个顶点 C为距离        if(hate[culture[b]][culture[a]]==0) dis[a][b]=min(dis[a][b],c);          if(hate[culture[a]][culture[b]]==0) dis[b][a]=min(dis[b][a],c);      }      for(int k=1;k<=n;k++)    //floy最短路径经典代码 （K为经过哪些国家，每个国家为一个顶点）        for(int i=1;i<=n;i++)     (i 和 j为 枚举两点，K为经过哪些点)            for(int j=1;j<=n;j++)                    if(!hate[culture[j]][culture[i]] && !hate[culture[i]][culture[k]] && !hate[culture[k]][culture[j]])                  dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);        if(dis[start][finish]==12345678) printf("-1");      else printf("%d",dis[start][finish]);     //如果起点和终点之间的距离从未初更新，表示无通路 否则输出最短路径}