所有背包问题代码总结 C++

01背包问题

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]

 注意事项

你不可以将物品进行切割。

如果有4个物品[2, 3, 5, 7]

如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。

如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。

函数需要返回最多能装满的空间大小。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

O(m * n) 时间复杂度

O(m * n)空间复杂度

class Solution {public:    /**     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack     * @param A: Given n items with size A[i]     * @return: The maximum size     */    int backPack(int m, vector<int> A)     {        int k = A.size();        int f[k][m + 1] = {0};        for (int i = 0; i < k; i++)        {            for (int j = 1; j <= m; j++)            {                if (i == 0)                {                    f[i][j] = (j >= A[i]) ? A[i] : 0;                    continue;                }                if (j >= A[i])                    f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-A[i]] + A[i]);                  else                    f[i][j] = f[i-1][j];            }        }        return f[k-1][m];    }};

O(m * n) 时间复杂度

O(m)空间复杂度

下面就是01背包问题的标准答案。如果不是求装多重，而是装多大价值，将后面的A[i] 换为 V[i] 

特点就是里面的for循环是从大到小。

class Solution {public:    /**     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack     * @param A: Given n items with size A[i]     * @return: The maximum size     */    int backPack(int m, vector<int> A)     {        int k = A.size();        int f[m + 1] = {0};                for (int i = 0; i < k; i++)        {            for (int j = m; j >= A[i]; j--)            {                f[j] = max(f[j], f[j - A[i]] + A[i]);            }        }        return f[m];    }};

完全背包问题

容量为10的背包，有5种物品，每种物品数量无限，其重量分别为5，4，3，2，1，其价值分别为1，2，3，4，5。 
设计算法，实现背包内物品价值最大。 

W是物品的重量的数组，V是物品价值的数组。

特点就是里面的for循环是从小到大。

int backPack(int T, vector<int> W, vector<int> V){    int f[T + 1] = {0};    for (int i = 0; i < W.size(); i++)    {        for (int j = w[i]; j <= T;j++)        {            f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);        }    }    return f[T];}

多重背包问题

容量为10的背包，有5种物品，每种物品数量分别为1，2，1，2，1，其重量分别为5，4，3，2，1，其价值分别为1，2，3，4，5。 
设计算法，实现背包内物品价值最大。

W是重量的数组。

cot是数量的数组

V是价值的数组

特点是：中间加了一个cot的循环，最里面的循环是从大到小遍历

int backPack(int T, vector<int> W, vector<int> cot, vector<int> V){    int f[T + 1] = {0};    for (int i = 0; i < W.size(); i++)    {        for (int k = 1; k <= cot[i]; k++)        {            for (int j = T; j >= w[i]; j--)            {                f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);            }        }    }    return f[T];}