NSFZOJ #1066. 【NOIP2016】蚯蚓

NSFZOJ #1066. 【NOIP2016】蚯蚓

题目描述

本题中，我们将用符号 $\lfloor c\rfloor$ 表示对 $c$ 向下取整，例如：$\lfloor 3.0\rfloor =\lfloor 3.1\rfloor =\lfloor 3.9\rfloor =3$。

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有 $n$ 只蚯蚓（$n$ 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 $i$ 只蚯蚓的长度为 ai a_i a​i​​（$i=1,2,\dots ,n$），并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为$0$ 的蚯蚓）。

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 $p$（是满足$0<p<1$ 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 $x$，神刀手会将其切成两只长度分别为$\lfloor px\rfloor$ 和 $x-\lfloor px\rfloor$ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 $0$，则这个长度为$0$ 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 $q$（是一个非负整常数）。

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要 $m$ 秒才能到来 ……（$m$ 为非负整数）

蛐蛐国王希望知道这 $m$ 秒内的战况。具体来说，他希望知道：

• $m$ 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 $m$ 个数）；
• $m$ 秒后，所有蚯蚓的长度（有 $n+m$ 个数）。

蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你 ……

输入格式

第一行包含六个整数 $n$，$m$，$q$，$u$，$v$，$t$，其中：$n$，$m$，$q$ 的意义见「问题描述」；$u$，$v$，$t$ 均为正整数；你需要自己计算 p=uv p = \frac{u}{v}p=​v​​u​​（保证$0<u<v$）$t$ 是输出参数，其含义将会在「输出格式」中解释。

第二行包含 $n$ 个非负整数，为 a1,a2,…,an a_1, a_2, \ldots, a_na​1​​,a​2​​,…,a​n​​，即初始时$n$ 只蚯蚓的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

保证 1≤n≤105 1 \leq n \leq 10 ^ 51≤n≤10​5​​，0<m<7×106 0 < m < 7 \times 10 ^ 6 0<m<7×10​6​​，0<u<v<109 0 < u < v < 10 ^ 9 0<u<v<10​9​​，$0\le q\le 200$，$1<t<71$，0<ai<108 0 < a_i < 10 ^ 8 0<a​i​​<10​8​​。

输出格式

第一行输出 ⌊mt⌋ \lfloor \frac{m}{t} \rfloor⌊​t​​m​​⌋ 个整数，按时间顺序，依次输出第 $t$ 秒，第 $2t$ 秒，第 $3t$ 秒 …… 被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

第二行输出 ⌊(n+m)t⌋ \lfloor \frac{(n+m)}{t} \rfloor⌊​t​​(n+m)​​⌋ 个整数，输出 $m$ 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 $t$，第$2t$，第$3t$ …… 的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

样例

样例输入 1

3 7 1 1 3 13 3 2

样例输出 1

3 4 4 4 5 5 66 6 6 5 5 4 4 3 2 2

样例解释 1

在神刀手到来前：$3$ 只蚯蚓的长度为 $3,3,2$。

$1$ 秒后：一只长度为 $3$ 的蚯蚓被切成了两只长度分别为 $1$ 和 $2$ 的蚯蚓，其余蚯蚓的长度增加了 $1$。最终$4$ 只蚯蚓的长度分别为 $(1,2),4,3$。括号表示这个位置刚刚有一只蚯蚓被切断；
$2$ 秒后：一只长度为 $4$ 的蚯蚓被切成了 $1$ 和 $3$。$5$ 只蚯蚓的长度分别为：$2,3,(1,3),4$；
$3$ 秒后：一只长度为 $4$ 的蚯蚓被切断。$6$ 只蚯蚓的长度分别为：$3,4,2,4,(1,3)$；
$4$ 秒后：一只长度为 $4$ 的蚯蚓被切断。$7$ 只蚯蚓的长度分别为：$4,(1,3),3,5,2,4$；
$5$ 秒后：一只长度为 $5$ 的蚯蚓被切断。$8$ 只蚯蚓的长度分别为：$5,2,4,4,(1,4),3,5$；
$6$ 秒后：一只长度为 $5$ 的蚯蚓被切断。$9$ 只蚯蚓的长度分别为：$(1,4),3,5,5,2,5,4,6$；
$7$ 秒后：一只长度为 $6$ 的蚯蚓被切断。$10$ 只蚯蚓的长度分别为：$2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)$。所以，$7$ 秒内被切断的蚯蚓的长度依次为 $3,4,4,4,5,5,6$。$7$ 秒后，所有蚯蚓长度从大到小排序为 $6,6,6,5,5,4,4,3,2,2$。

样例输入 2

3 7 1 1 3 23 3 2

样例输出 2

4 4 56 5 4 3 2

样例解释 2

这个数据中只有 $t=2$ 与上个数据不同。只需在每行都改为每两个数输出一个数即可。

虽然第一行最后有一个 $6$ 没有被输出，但是第二行仍然要重新从第二个数再开始输出。

样例输入 3

3 7 1 1 3 93 3 2

样例输出 3

2

样例解释 3

这个数据中只有 $t=9$ 与上个数据不同。

注意第一行没有数要输出，但也要输出一个空行。

数据范围与提示

1≤n≤105,0≤m≤7×106,1≤t≤71,0≤ai≤108,1≤v≤109,0≤q≤200 1 \leq n \leq 10 ^ 5, 0 \leq m \leq 7 \times 10 ^ 6, 1 \leq t \leq 71, 0 \leq a_i \leq 10 ^ 8, 1 \leq v \leq 10 ^ 9, 0 \leq q \leq 200 1≤n≤10​5​​,0≤m≤7×10​6​​,1≤t≤71,0≤a​i​​≤10​8​​,1≤v≤10​9​​,0≤q≤200

考试的时候被一大堆浮点数运算题吓到了，仔细看了看才发现并不带浮点运算。。

当时最容易想到堆，但是看看m这么大，很明显卡堆。当时还是太naive了，没想到还有单调队列这种东西。。

思路：将蚯蚓们分成三队：A存所有未经过劈砍的蚯蚓；B存所有被劈砍后的前一部分；C存后一部分。

易证明：ABC均满足单调性，即单调队列。之后就很好想了：每次取出当前最大，只可能是三个队列头中的一个；然后砍成两半，分别放在B和C的尾部，一直进行下去。要注意的是，被砍的蚯蚓当轮不会变长，这里有细节要处理。我的方法是，记录当前已操作数k，则相当于所有蚯蚓都增长了k*q，当一个长为l的蚯蚓被劈砍时，前一部分长x=(l+k*q)*u/v-(k+1)*q，y=l+k*q-x-(k+1)*q。注意这里的l表示未考虑变长的情况下，蚯蚓的长度（这里一定要想通，为什么这样表示是对的）。细节注意了基本就没问题了。

代码