bzoj1049 [HAOI2006]数字序列 ( LIS + 区间DP）

bzoj1049 [HAOI2006]数字序列

原题地址：http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=1049

题意：
现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。
但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。
求：
1.最少需要改变多少个数
2.在改变的数最少的情况下，每个数改变的绝对值之和的最小值。

数据范围
n<=35000，保证所有数列是随机的。

题解：
ydc神犇的题解

神题，神结论。
O（n^3）水过随机数据。

首先对于第一问，求最少需要改变多少个数：
补集转化的思想，即求 n-(最多有多少个数不改变)，
就是求最长严格上升子序列长度，用二分+单调栈即可。
（但是这里有一个转化，就是 数字-标号，转为求最长不降子序列，在第二问中有用）

对于第二问：
之前在第一问中，每个数都 数字-标号，转为求最长不降子序列了，之后得到一个f[i]数组
f[i]表示，以i结尾的最长不降子序列长度。
设 g[i]=以i结尾的最长不降子序列，从1到i，要全部转为不降的最小代价。

那么怎么求g[i]呢？

考虑最原始的求解最长不降子序列的方法。
是一个n^2的DP，f[i]由前面最大的f[j]+1满足 a[j]<=a[i]转移过来。
就是说，取i的前一个保留位置是j，( i，j )区间的全部都要改变使[i，j]不降。

于是得到一个转移方程：
令w[i，j]表示保留i，j，使区间[i，j]合法的最小代价。
g[i]=min( g[j]+w[j，i] ) ( f[i]==f[j]+1 且 a[i]>=a[j] )

w[i，j]怎么算？
有一个非常重要的结论：
对于[i+1，j]区间，必然存在一个断点m，使得如果让 i+1到m-1都变成 i，m到j都变成 j ，是保留i，j，使区间[i，j]合法的最小代价。
证明见ydc神犇

于是w[i，j]就可以枚举断点来求。

总复杂度 O（n^3） ，本来是会T的，
但是对于找到 f[i]==f[j]+1 且 a[i]>=a[j] 时，可以把 f[i]=x预先存下来，因为数列是随机的，可以水过。

代码：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<vector>#define LL long longusing namespace std;const int N=36000;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,stack[N],top=0,a[N],f[N];LL g[N],s1[N],s2[N];vector<int> V[N];int find(int x){    int lf=1; int rg=top;    while(lf+1<rg)    {        int mid=(lf+rg)>>1;        if(stack[mid]<=x) lf=mid;        else rg=mid;    }    if(stack[lf]>x) return lf;    else return rg;}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {scanf("%d",&a[i]); a[i]=a[i]-i;}    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(top==0||stack[top]<=a[i]) {stack[++top]=a[i];f[i]=top;}        else if(stack[1]>a[i]) {stack[1]=a[i]; f[i]=1;}        else {f[i]=find(a[i]);stack[f[i]]=a[i];}        V[f[i]].push_back(i);    }    printf("%d\n",n-top);    for(int i=0;i<=n+1;i++) g[i]=1LL<<60;    V[0].push_back(0); a[0]=-inf; g[0]=0;     V[top+1].push_back(n+1); a[n+1]=inf; f[n+1]=top+1;    for(int i=1;i<=n+1;i++)    {        int sz=V[f[i]-1].size();        for(int j=0;j<sz;j++)        {            int x=V[f[i]-1][j];            if(x>i) break;            if(a[x]>a[i]) continue;            s1[x]=s2[x]=0;            for(int k=x+1;k<=i;k++)            {                s1[k]=abs(a[x]-a[k]);                 s2[k]=abs(a[i]-a[k]);            }            for(int k=x+1;k<=i;k++)            {                s1[k]=s1[k-1]+s1[k];                s2[k]=s2[k-1]+s2[k];            }            for(int k=x+1;k<=i;k++)             g[i]=min(g[i],g[x]+s1[k-1]-s1[x]+s2[i]-s2[k-1]);        }    }    printf("%I64d\n",g[n+1]);    return 0;}