编辑距离问题

问题描述

字符串的编辑距离也被称为距Levenshtein距离（Levenshtein Distance），属于经典算法，常用方法使用递归，更好的方法是使用动态规划算法，以避免出现重叠子问题的反复计算，减少系统开销。

《编程之美》一书中3.3节中计算两个字符串的相似度，归根到底也是要求两个字符串的距离，其中问题是这样提出的：

　　许多程序会大量使用字符串。对于不同的字符串，我们希望能够有办法判断其相似程序。我们定义一套操作方法来把两个不相同的字符串变得相同，具体的操作方法为：

• 　修改一个字符（如把”a”替换为”b”）;
• 　增加一个字符（如把”abdd”变为”aebdd”）;

• 　删除一个字符（如把”travelling”变为”traveling”）;

  　　　　比如，对于”abcdefg”和”abcdef”两个字符串来说，我们认为可以通过增加/减少一个”g”的方式来达到目的。上面的两种方案，都仅需要一 次 。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的距离，而相似度等于”距离+1”的倒数。也就是说，”abcdefg”和”abcdef”的距离为1，相似度 为1/2=0.5。给定任意两个字符串，你是否能写出一个算法来计算它们的相似度呢？

  　　其实这个问题的关键是要求两个字符串的编辑距离。

  例如 将kitten一字转成sitting：

• sitten （k→s）

• sittin （e→i）
• sitting （→g）

俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

编辑距离问题：找出字符串的编辑距离，即把一个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2，操作有三种，添加一个字符，删除一个字符，修改一个字符。

假定dist(str1,str2)表示字符串从str1变换到str2的编辑距离，有以下四种情况：
用null表示字符串为空的情况

• dist(null,null)=0;
• dist(null,str2)=strlen(str2);
• dist(str1,null)=strlen(str1);

• dist(str1,str2)

  假定要求解dist(str1+char1,str2+char2)，分三种情况1. 如果str1+char能够直接转换成str2，这是我们只需要插入char2即可，也就是说dist(str1+char1,str2+char2)=dist(str1+char1,str2)+12. 如果str1可以直接转成str2+char2,这是我们只需要删去char1即可，也就是说，dist(str1+char1,str2+char2)=dist(str1,str2+char2)+13. 如果str1可以直接转变成str2，也分两种情况    - 如果char1等于char2，不需要任何操作，即dist(str1+char1,str2+char2)=dist(str1,str2)    - 如果char1不等于char2，把char1换成char2即可，dist(str1+char1,str2+char2)=dist(str1,str2)+1

取上面的三种情况的最小值即可。
那我们如何实现呢?设第一个字符串a的长度为m,第二个字符串b的长度为n，为了方便，我们设一个二维数组dist[n+1][m+1],dist[i][j]表示字符串a前j个字符串变化到字符串b前j个字符串的编辑距离，这里是不是有点混乱，继续往下看：
根据上面分情况分析，我们可以写出如下动态公式：

• if (i == 0 && j == 0)edit[i][j] = 0;
• if (i == 0 && j > 0)edit[i][j] = j;
• if (i > 0 && j == 0)edit[i][j] = i;
• if (i >=1 && j >= 1)
  int k = b[i] == a[j] ? 0 : 1;
  edit[i][j] = min(edit[i - 1][j]+1, edit[i][j - 1] + 1, edit[i - 1][ j - 1] + k);

比如说字符串a=”fxpimu”,b=”xwrs”;a.length()=6,b.length()=4;即m=7,n=4;定义二维数组为dist[5][7]，运算结果如下

null f x p i m u null 0 1 2 3 4 5 6 x 1 1 1 2 3 4 5 w 2 2 2 2 3 4 5 r 3 3 3 3 3 4 5 s 4 4 4 4 4 4 5

所以字符串a到字符串b的最短编辑距离为5
代码如下：

#include "stdafx.h"#include<iostream>#include<vector>#include<string>using namespace std;int min(int A, int B, int C) {    if (B < A)        A = B;    if (C < A)        A = C;    return A;}int main(){    int dist[6][8];    string a = "fxpimu";    string b = "xwrs";    a = " " + a;    b = " " + b;    for (int i = 0; i <=b.size(); i++) {        for (int j = 0; j <=a.size(); j++) {            if (i == 0 && j == 0)dist[i][j] = 0;            else if (i == 0 && j > 0)dist[i][j] = j;            else if (i > 0 && j == 0)dist[i][j] = i;            else if(i>=1&&j>=1){                int k = (b[i] == a[j] ? 0 : 1);                dist[i][j] = min(dist[i - 1][j]+1, dist[i][j - 1] + 1, dist[i - 1][ j - 1] + k);            }        }    }    for (int i = 0; i < 5; i++) {        for (int j = 0; j < 7; j++) {            printf("%d ", dist[i][j]);        }        printf("\n");    }    printf("编辑距离为%d",dist[b.size()][a.size()]);     return 0;}

参考文章：http://www.cnblogs.com/jiabei521/p/3353390.html