编辑距离问题

给定两个字符串S和T，对于T我们允许三种操作：

(1) 在任意位置添加任意字符
(2) 删除存在的任意字符
(3) 修改任意字符 

问最少操作多少次可以把字符串T变成S？ 

例如： S＝  “ABCF”   T = “DBFG”

那么我们可以

(1) 把D改为A
(2) 删掉G
(3) 加入C

所以答案是3。

分析： 这个最少的操作次数，通常被称之为编辑距离。“编辑距离”一次本身具有最短的意思在里面。因为题目有“最短”这样的关键词，首先我们想到的是BFS。是的，当S的距离为m, T的距离为n的时候，我们可以找到这样的操作次数的界限：

(1) 把T中字符全删了，再添加S的全部字符，操作次数m + n。
(2) 把T中字符删或加成m个，再修改 操作次数最多 |n – m| + m。

虽然，我们找到了这样的上界，BFS从实际角度并不可行，因为搜索空间是指数的，这取决于S中的字符种类——具体的数量级不好估计。

这个问题之所以难，是难在有“添加”“删除”这样的操作，很麻烦。我们试试换个角度理解问题，把它看成字符串对齐的问题，事实上从生物信息学对比基因的角度，我们可以这样理解问题。

给定字符串S和T，我们可以用一种特殊字符促成两个字符串的对齐。我们加的特殊字符是“-”, 我们允许在S和T中任意添加这种特殊字符使得它长度相同，然后让这两个串“对齐”，最终两个串相同位置出现了不同字符，就扣1分，我们要使得这两个串对齐扣分尽量少。

对于例子 我们实际上采取了这样的对齐方式：

12345
ABCF-
DB-FG

注意：如果要对齐，两个“-”相对是没有意义的，所以我们要求不出现这种情况。
那么看一下：
(1) S,T对应位置都是普通字符，相同，则不扣分。 例如位置2，4
(2) S,T对应位置都是普通字符，不同，则扣1分。 例如位置1
(3) S在该位置是特殊字符，T在该位置是普通字符，则扣1分，例如位置5
(4) S在该位置是普通字符，T在该位置是特殊字符，则扣1分，例如位置3

我们来看看扣分项目对应什么？

(1) 不扣分，直接对应
(2) 对应把T中对应位置的字符修改
(3) 对应在T中删除该字符
(4) 对应在T中添加该字符

好了，目标明确，感觉像不像 LCS？我们尝试一下：
设f(i,j)表示S的前i位和T的前j位对齐后的最少扣分。

那我们来看看最后一位，对齐的情况

(1) 必须S[i] == T[j], 这时前i – 1和j – 1位都已经对齐了，这部分肯定要最少扣分。这种情况下最少的扣分是f(i-1,j-1)
(2) 和（1）类似，S[i]≠T[j]，这种情况下最少的扣分是f(i -1, j – 1) + 1
(3) S的前i位和T的前（j – 1）位已经对齐了，这部分扣分也要最少。这种情况下最少的扣分是f(i,j-1) + 1
(4) S的前(i-1)位已经和T的前j位对齐了，这部分扣分要最少。这种情况下最少的扣分是f(i,j-1) + 1

具体f(i,j)取什么值，显然是要看哪种情况的扣分最少。

为了方便，我们定义函数same(i,j)表示如果S[i] == T[j]则为0，否则为1。

我们来表示一下递推式：

f(i,j) = min(f(i – 1, j – 1) + same(i,j), f(i – 1,j ) + 1, f(i, j – 1) + 1)

初值是什么？

f(0, j) = j
f(i, 0) = i

这时因为对于S的前0位，我们只能在之前加入“-”，或者说把T全部删掉了。类似地，对于T地前0位，我们只能把S的字符都加进来，别无选择。
注意上述两个式子的重合点 f(0,0) = 0也符合我们的定义，并不矛盾。

时间复杂度？ O(m * n)，空间复杂度？ O(m * n)。同样我们发现到f(i,j)只与本行和上一行有关，可以省掉一维的空间复杂度，从而达到O(n)。
优化后的伪代码：

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

for j = 0 to n do

    f[j] = j

endfor

for i = 1 to m do

    last = f[0]

    f[0] = i

    for j = 1 to n do 

        temp = f[i,j]

        f[i,j] = min(last + same(i,j), temp + 1, f[j – 1] + 1)

        last = f[i,j]

    endfor

endfor

 

注意： 我们对于i实际上更新j的顺序是由小到达的，所以我们需要保存“旧的”f[i-1,j – 1]。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

输入

第1行：字符串a(a的长度 <= 1000)。第2行：字符串b(b的长度 <= 1000)。

输出

输出a和b的编辑距离

输入示例

kittensitting

输出示例

3

/**最短编辑距离*/char s1[1010],s2[1010];int dp[1010][1010];int mind(char s1[],char s2[]){    int len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i=0; i<=len1; i++) dp[i][0]=i;    for(int j=0; j<=len2; j++) dp[0][j]=j;    for(int i=1; i<=len1; i++)    {        for(int j=1; j<=len2; j++)        {            dp[i][j]=min(dp[i-1][j] , dp[i][j-1]) + 1;            dp[i][j]=min(dp[i][j] , dp[i-1][j-1] + (s1[i-1] != s2[j-1]));        }    }    printf("%d\n",dp[len1][len2]);}