第六章 二叉树和树

标签（空格分隔）： 数据结构

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承前启后：第一章绪论，介绍数据结构；第三章讲解了简单的线性表，主要是顺序表和链表。第四章讲了字符串的内容，主要是匹配。第五章在顺序表的基础上实现了栈和队列。
下面几章就不是简单的线性结构，而是更复杂的联系。
树形结构：树形结构也是由结点和结点之间的关系构成。其最主要的特征包括：

1. 一个结构不空，就存在唯一的起始节点。
2. 树根外的结点都只有一个前驱。一个结点可以有0个或者多个后继。
3. 从树根结点出发，经过若干次后继关系可以达到结构中的任一个结点
4. 从树结构的任意两个不同结点出发，通过后继关系可达的两个结点集合，或者互不相交，或者是父子集关系。

一、二叉树：概念和性质

根结点、树叶结点、分支节点
路径，结点的层和树的高度
一棵二叉树的高度是树中结点的最大层数。
二叉树的性质：
5. 在非空二叉树第i层中至多有2^i个结点(i>=0)
6. 高度为h的二叉树至多有2^(h+1)-1个结点(h>=0)
7. 对于任何非空二叉树T，如果其叶结点的个数为n0，度数为2的结点的个数为n2，那么n0=n2+1
8. 满二叉树里的叶结点比分支结点多一个
9. 完全二叉树n个结点，高度为h=[log2(n)]不大于的最大整数。

二叉树抽象数据类型

构造；判断非空；获取结点数；获取数据；获得左树；获得右树；遍历迭代器；遍历结点操作

遍历二叉树

两种方式：①深度优先遍历；②宽度优先遍历

深度优先遍历

按照深度优先方式：遍历左子树—->遍历右子树—->访问根节点

宽度优先遍历

按路径长度由近到远地访问结点。也就是按照层次逐层访问树中各结点，与状态空间搜索情况一样，这种遍历不能写成一个递归过程。

二、二叉树的list实现

把二叉树映射到一种分层的list结构，每棵二叉树都有与之对应的list。
不具有通用性，并且实践操作中麻烦。建议类实现二叉树

三、二叉树的类实现

二叉树的类实现也是链接实现：用一个数据单元表示一个二叉树结点，通过子结点链接建立结点之间的联系。只要掌握一个二叉树的根结点，也就掌握了整个二叉树。
如同建立链表：确定结点类，再确定链表的类。

二叉树结点类

递归定义的二叉树操作具有统一的模式，包括两个部分：
①描述对空树的处理，应直接给出结果。
②描述非空树情况的处理:
1. 如何处理根结点（处理根结点数据时，应直接给出结果）
2. 通过递归调用分别处理左、右子树
3. 基于上述三个部分处理的结果得到对整个树的处理结果。

遍历算法

递归定义遍历
宽度优先遍历
非递归的先根序遍历函数

二叉树类

直接基于结点构造的二叉树具有递归的结构，方便递归处理。

哈夫曼树

优先队列

作为缓存结构，优先队列与栈和队列类似，可以将数据元素保存其中，可以访问和弹出。优先队列的特点是存入其中的每项数据都另外赋有一个数值，表示优先程度，称为优先级。

堆

采用树形结构实现优先队列的一种有效技术称为堆。从结构上看，堆就是结点里存储数据的完全二叉树，但堆中数据的存储要满足一种特殊的堆序：任一结点里所存的数据按照序先于或等于其子结点里的数据。

本章总结

树形结构是典型的递归结构，采用递归的方式可以比较简洁自然的描述树形结构操作和处理方法。也能借助栈或队列辅助结构，写出非递归算法。
实际上，树遍历也就是一种状态空间搜索。树的深度优先处理过程对应于状态空间的深度优先搜索，树的宽度优先处理过程对应于状态空间的宽度优先搜索。
二叉树和树有多种应用，表达式树，堆和优先队列、哈夫曼树，及算法

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