Hessian矩阵在求极小值的应用

 最近一段时间算是狠狠地了补了很多数学知识，也发现了数学作为工程中的强大工具能力，无论是在机器学习中推导cost funcktion还是在求解优化问题时，都会用到Hessian矩阵。

 我们需要知道一个重要的结论：Hessian矩阵是半正定的，具体的推导不讲，这里主要讲讲怎么理解这个半正定性。
 对一元函数f(x)来说，就极值而言，一阶导为0是极值点的必要但不充分条件，一阶导为0且二阶导>0是极小值的充要条件。为什么呢，因为有泰勒展开。如果一阶导为0，二阶导>0，dx不论是多少，f(x)一定不比f(x0)小。
你把多元函数也泰勒展开，主要区别在于：
1) 二阶导变成了Hessian。
2) 以前只要考虑x怎么变，现在还要考虑y怎么变，x和y怎么一起变，头疼了很多。以二元为例，
从一元的情况类比过来，如果一阶导为0，是不是极小值完全取决于不同的dx, dy下，能不能做到最后一项一直非负。只有对于任意,一直大于0的情况，我们才能说这是极小值。如果一直小于0，这就是极大值。如果它一会正一会负，就是鞍点。然后“对于任意,一直>0”这是啥？半正定的定义嘛！它就是这么引出来的，也是我们为什么需要半正定这个概念的原因（之一）。（我们假设函数有一些“良好”的性质，比如连续，可微等。）
所以我们知道了Hessian矩阵的半正定指的是在大于0的时候可以判断出该导函数为0的点为极小值点，但是当Hessian矩阵算法等于0的时候，就没办法判断此点的是否是极值点。
所以在优化理论中的原始牛顿法及阻尼牛顿法的缺陷就在这里，因为Hessian是半正定的所以，不能保证每次都能收敛到极小值点。