【NOIP模拟】 (11.6) T2 序列操作

序列操作

题目描述：

       一开始有 n 个非负整数 h[i] (1<=i<=n) ，接下来会进行 m 次操作，第 i 次操作给出一个数 c[i] ，要求你选出 c[i] 个大于0的数并将它们减去1。

       问最多可以进行多少轮操作后无法操作(即没有 c[i] 个大于0的数)。

输入格式：

       第一行两个数表示 n 和 m。

       第二行 n 个数描述 h[i]。

       第三行 m 个数描述c[i]。

输出格式：

       一行表示答案，即最多可以进行多少轮操作后无法操作。

数据范围：

       对于10%的是数据满足：1<=n,m<=5。

       对于另外20%的数据满足：1<=n<=8;1<=h[i]<=7。

       对于50%的数据满足：1<=n,m<=1000。

       对于80%的数据满足：1<=n,m<=100000。

       对于100%的数据满足：1<=n,m<=1000000 。

解析：

       有三种主流做法：平衡树、二分+贪心、权值线段树。

       先说题解方法二分+贪心(其实很慢...)。做法就是二分答案，然后用贪心验证。说到这个题的贪心，几位大佬都没法证明它的正确性(读者有兴趣可以试着证一下)。具体的贪心就是取最开始前 c[i] 个大的(不管后来是不是前 c[i] 大)，如果不够，那么就往后面取。就是这样，我只能说看出来贪心也是一种DP，有时候你知道这样做是对的，但你就是无法证明它的正确性......

       然后说一下权值线段树。其实就是维护整个序列是单调递增的。举个例子：

     

       假设此时c=5，如果直接取前5大的数减去1，那么整个序列就不满足单增，所以对于3有多个，我们就只能取前两个3减1，才能保证序列的单调性。如图：

      

       于是就变成了：

        

       这样整个序列就仍然保持单调性了。具体细节详见代码。

       至于平衡树，作为一个NOIP蒟蒻，对于NOI的算法当然就无能为力了，不过还是贴一位大佬的代码(仅供欣赏)。

代码(二分+贪心)：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int Max=1001000;int n,m;long long h[Max],c[Max];long long sum[Max],num[Max];inline int get_int(){   int x=0,f=1;   char c;   for(c=getchar();(!isdigit(c))&&(c!='-');c=getchar());   if(c=='-') {f=-1;c=getchar();}   for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';   return x*f;}inline bool comp(const int &a,const int &b){   return a>b;}inline int check(int k){   long long s=0;   memset(num,0,sizeof(num));   memset(sum,0,sizeof(sum));   for(int i=1;i<=k;i++)   {    if(c[i]>n) return 0;    num[c[i]]++;    s+=c[i];   }   for(int i=n;i>=1;i--) sum[i]=num[i]+sum[i+1];   long long ss=0;   for(int i=1;i<=n;i++)   {    ss+=min(sum[i],h[i]);    if(h[i]<sum[i]) sum[i+1]+=sum[i]-h[i];   }   if(ss==s) return 1;   else return 0;}int main(){   //freopen("sequence.in","r",stdin);   //freopen("sequence.out","w",stdout);   n=get_int();   m=get_int();   for(int i=1;i<=n;i++) h[i]=get_int();   for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=get_int();   sort(h+1,h+n+1,comp);   int l=0,r=m,mid;   while(l<=r)   {    mid=(l+r)>>1;    if(check(mid)) l=mid+1;    else r=mid-1;   }   cout<<l-1<<"\n";   return 0;}

代码(权值线段树)：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int Max=1001000;int n,m;int h[Max];struct shu{int maxx,minn,num;};shu tree[Max*4];inline int get_int(){   int x=0,f=1;   char c;   for(c=getchar();(!isdigit(c))&&(c!='-');c=getchar());   if(c=='-') {f=-1;c=getchar();}   for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';   return x*f;}inline void update(int root){   tree[root].maxx=max(tree[root<<1].maxx,tree[root<<1|1].maxx);   tree[root].minn=min(tree[root<<1].minn,tree[root<<1|1].minn);}inline int modify(int root,int num){   tree[root].minn-=num;   tree[root].maxx-=num;   tree[root].num+=num;}inline void pushdown(int root){   if(tree[root].num!=0)   {    modify(root<<1,tree[root].num);    modify(root<<1|1,tree[root].num);    tree[root].num=0;   }}inline void build(int root,int l,int r)   //建树 {   if(l==r)   {    tree[root].minn=tree[root].maxx=h[l];    return;   }   int mid=(l+r)>>1;   build(root<<1,l,mid);   build(root<<1|1,mid+1,r);   update(root);}inline int Q(int root,int l,int r,int pos){   if(l==r) return tree[root].minn;   pushdown(root);   int mid=(l+r)>>1;   if(pos<=mid) return Q(root<<1,l,mid,pos);   else return Q(root<<1|1,mid+1,r,pos);}inline int Find(int root,int l,int r,int num)   //寻找 {   if(l==r) return l;   pushdown(root);   int mid=(l+r)>>1;   if(tree[root<<1].maxx>=num) return Find(root<<1,l,mid,num);   else return Find(root<<1|1,mid+1,r,num);}inline void change(int root,int l,int r,int L,int R)  //区间修改 {   if(L<=l&&R>=r)   {     modify(root,1);     return;   }   pushdown(root);   int mid=(l+r)>>1;   if(L<=mid) change(root<<1,l,mid,L,R);   if(R>mid) change(root<<1|1,mid+1,r,L,R);   update(root);}int main(){  // freopen("sequence.in","r",stdin);   //freopen("sequence.out","w",stdout);   n=get_int();   m=get_int();   for(register int i=1;i<=n;i++) h[i]=get_int();   sort(h+1,h+n+1);   build(1,1,n);   for(register int i=1;i<=m;i++)   {      int c=get_int(),pos=n-c+1,f1,f2;  //pos即为第c大的数的位置      int cur=Q(1,1,n,pos);   // 寻找pos的值      if(cur==0)    //若cur为0，说明已经找不到c个数满足条件，于是答案就是i-1      {        cout<<i-1<<"\n";        return 0;      }      f1=Find(1,1,n,cur);    //寻找值为cur的最靠左的点      if(cur!=tree[1].maxx) f2=Find(1,1,n,cur+1);//cur不是最大值说明右侧还有数，则寻找值cur+最靠左的点      else f2=n+1;      c-=(n-f2+1);      if(f2!=n+1) change(1,1,n,f2,n);    //区间修改       change(1,1,n,f1,f1+c-1);     //区间修改    }   cout<<m<<"\n";   return 0;}

代码(平衡树)：

/*   created by duzhenyu*/#include<bits/stdc++.h>typedef unsigned int uint;using namespace std;inline int read(){char ch=getchar();int i=0,f=1;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return i*f;}inline uint unit(){static uint state0=399989;state0^=(state0<<13);state0^=(state0>>17);state0^=(state0<<5);return state0;}const int Maxn=1e6+50;int n,m,a[Maxn];struct node{int val,mn,mx,sze,tag;node *lc,*rc;uint pri;inline void upt();inline void add(int t);inline void pushdown();}Pool[Maxn],*pool=Pool,*null=Pool,*rt=null;typedef pair<node*,node*> pii;inline void node::upt(){sze=lc->sze+rc->sze+1;mn=val;mx=val;if(lc!=null)mn=min(mn,lc->mn),mx=max(mx,lc->mx);if(rc!=null)mn=min(mn,rc->mn),mx=max(mx,rc->mx);}inline void node::add(int t){tag+=t;val+=t;mn+=t;mx+=t;}inline void node::pushdown(){if(!tag)return;if(lc!=null)lc->add(tag);if(rc!=null)rc->add(tag);tag=0;}inline node* newnode(int v){++pool;pool->lc=pool->rc=null;pool->mn=v;pool->mx=v;pool->val=v;pool->sze=1;pool->pri=unit();return pool;}inline node* merge(node *x,node *y){if(x==null)return y;if(y==null)return x;if(x->pri>y->pri){x->pushdown();x->rc=merge(x->rc,y);x->upt();return x; }else{y->pushdown();y->lc=merge(x,y->lc);y->upt();return y;}}inline pii split_sze(node *now,int sz){if(now==null)return make_pair(null,null);now->pushdown();if(now->lc->sze>=sz){pii tr1=split_sze(now->lc,sz);now->lc=tr1.second;now->upt();return make_pair(tr1.first,now);}else{pii tr1=split_sze(now->rc,sz-now->lc->sze-1);now->rc=tr1.first;now->upt();return make_pair(now,tr1.second);}}inline pii split_val(node *now,int v){if(now==null)return make_pair(null,null);now->pushdown();if(now->val<=v){pii tr1=split_val(now->rc,v);now->rc=tr1.first;now->upt();return make_pair(now,tr1.second);}else{pii tr1=split_val(now->lc,v);now->lc=tr1.second;now->upt();return make_pair(tr1.first,now);}}int main(){n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();}sort(a+1,a+n+1);for(int i=1;i<=n;i++)if(a[i])rt=merge(rt,newnode(a[i]));for(int i=1;i<=m;i++){int c=read();if(rt->sze<c){printf("%d\n",i-1);return 0;};if(!c)continue;pii tr1=split_sze(rt,rt->sze-c);if(tr1.first==null||tr1.first->mx<tr1.second->mn){tr1.second->add(-1);rt=merge(tr1.first,tr1.second);if(rt->mn==0)rt=split_val(rt,0).second;}else{pii tr2=split_val(tr1.second,tr1.second->mn);if(tr2.second!=null)tr2.second->add(-1),c-=tr2.second->sze;pii tr3=split_val(tr1.first,tr1.first->mx-1);tr3.second=merge(tr3.second,tr2.first);pii tr4=split_sze(tr3.second,c);tr4.first->add(-1);rt=merge(tr3.first,merge(tr4.first,merge(tr4.second,tr2.second)));if(rt->mn==0)rt=split_val(rt,0).second;}}printf("%d\n",m);}