第10周项目1(2)-二叉树构造算法的验证
来源:互联网 发布:android 数据缓存框架 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 20:09
1.由先序序列和中序序列构造二叉树
- 定理:任何n(n≥0)个不同节点的二叉树,都可由它的中序序列和先序序列唯一地确定。
- 证明(数学归纳法) 基础:当n=0时,二叉树为空,结论正确。
- 假设:设节点数小于n的任何二叉树,都可以由其先序序列和中序序列唯一地确定。
- 归纳:已知某棵二叉树具有n(n>0)个不同节点,其先序序列是a0a1…an−1;中序序列是b0b1…bk−1bkbk+1…bn−1。
- 先序遍历“根-左-右”,a0必定是二叉树的根节点
- a0必然在中序序列中出现,设在中序序列中必有某个bk(0≤k≤n−1)就是根节点a0。
- 由于bk是根节点,中序遍历“左-根-右”,故中序序列中b0b1…bk−1必是根节点bk(a0)左子树的中序序列,即bk的左子树有k个节点,bk+1…bn−1必是根节点bk(a0)右子树的中序序列,即bk的右子树有n−k−1个节点。
对应先序序列,紧跟在根节点a0之后的k个节点a1…ak是左子树的先序序列,ak+1…an−1这n−k−1就是右子树的先序序列。
根据归纳假设,子先序序列a1…ak和子中序序列b0b1…bk−1可以唯一地确定根节点a0的左子树,而先序序列ak+1…an−1和子中序序列bk+1…bn−1可以唯一地确定根节点a0的右子树。
以该图片中的二叉树为例
代码部分
btree.h
#ifndef BTREE_H_INCLUDED#define BTREE_H_INCLUDED#define MaxSize 100typedef char ElemType;typedef struct node{ ElemType data; //数据元素 struct node *lchild; //指向左孩子 struct node *rchild; //指向右孩子} BTNode;void CreateBTNode(BTNode *&b,char *str); //由str串创建二叉链BTNode *FindNode(BTNode *b,ElemType x); //返回data域为x的节点指针BTNode *LchildNode(BTNode *p); //返回*p节点的左孩子节点指针BTNode *RchildNode(BTNode *p); //返回*p节点的右孩子节点指针int BTNodeDepth(BTNode *b); //求二叉树b的深度void DispBTNode(BTNode *b); //以括号表示法输出二叉树void DestroyBTNode(BTNode *&b); //销毁二叉树#endif // BTREE_H_INCLUDED
btree.cpp
#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"void CreateBTNode(BTNode *&b,char *str) //由str串创建二叉链{ BTNode *St[MaxSize],*p=NULL; int top=-1,k,j=0; char ch; b=NULL; //建立的二叉树初始时为空 ch=str[j]; while (ch!='\0') //str未扫描完时循环 { switch(ch) { case '(': top++; St[top]=p; k=1; break; //为左节点 case ')': top--; break; case ',': k=2; break; //为右节点 default: p=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); p->data=ch; p->lchild=p->rchild=NULL; if (b==NULL) //p指向二叉树的根节点 b=p; else //已建立二叉树根节点 { switch(k) { case 1: St[top]->lchild=p; break; case 2: St[top]->rchild=p; break; } } } j++; ch=str[j]; }}BTNode *FindNode(BTNode *b,ElemType x) //返回data域为x的节点指针{ BTNode *p; if (b==NULL) return NULL; else if (b->data==x) return b; else { p=FindNode(b->lchild,x); if (p!=NULL) return p; else return FindNode(b->rchild,x); }}BTNode *LchildNode(BTNode *p) //返回*p节点的左孩子节点指针{ return p->lchild;}BTNode *RchildNode(BTNode *p) //返回*p节点的右孩子节点指针{ return p->rchild;}int BTNodeDepth(BTNode *b) //求二叉树b的深度{ int lchilddep,rchilddep; if (b==NULL) return(0); //空树的高度为0 else { lchilddep=BTNodeDepth(b->lchild); //求左子树的高度为lchilddep rchilddep=BTNodeDepth(b->rchild); //求右子树的高度为rchilddep return (lchilddep>rchilddep)? (lchilddep+1):(rchilddep+1); }}void DispBTNode(BTNode *b) //以括号表示法输出二叉树{ if (b!=NULL) { printf("%c",b->data); if (b->lchild!=NULL || b->rchild!=NULL) { printf("("); DispBTNode(b->lchild); if (b->rchild!=NULL) printf(","); DispBTNode(b->rchild); printf(")"); } }}void DestroyBTNode(BTNode *&b) //销毁二叉树{ if (b!=NULL) { DestroyBTNode(b->lchild); DestroyBTNode(b->rchild); free(b); }}
main.cpp
#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"BTNode *CreateBT1(char *pre,char *in,int n)/*pre存放先序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数,本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/{ BTNode *s; char *p; int k; if (n<=0) return NULL; s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建二叉树结点*s s->data=*pre; for (p=in; p<in+n; p++) //在中序序列中找等于*ppos的位置k if (*p==*pre) //pre指向根结点 break; //在in中找到后退出循环 k=p-in; //确定根结点在in中的位置 s->lchild=CreateBT1(pre+1,in,k); //递归构造左子树 s->rchild=CreateBT1(pre+k+1,p+1,n-k-1); //递归构造右子树 return s;}int main(){ ElemType pre[]="ABDGCEF",in[]="DGBAECF"; BTNode *b1; b1=CreateBT1(pre,in,7); printf("b1:"); DispBTNode(b1); printf("\n"); return 0;}
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2.由后序序列和中序序列构造二叉树
- 定理:任何n(n>0)个不同节点的二叉树,都可由它的中序序列和后序序列唯一地确定。
- 因为在后序遍历过程中先遍历左子树,再遍历右子树,最后访问根结点,所以an-1必定是二叉树的根结点,而an-1必然在中序序列中出现。也就是说,在中序序列中必有某个bk(0<=k<=n-1)就是根结点an-1。
main.cpp
#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"BTNode *CreateBT2(char *post,char *in,int n)/*post存放后序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数,本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/{ BTNode *s; char r,*p; int k; if (n<=0) return NULL; r=*(post+n-1); //根结点值 s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建二叉树结点*s s->data=r; for (p=in; p<in+n; p++) //在in中查找根结点 if (*p==r) break; k=p-in; //k为根结点在in中的下标 s->lchild=CreateBT2(post,in,k); //递归构造左子树 s->rchild=CreateBT2(post+k,p+1,n-k-1); //递归构造右子树 return s;}int main(){ ElemType in[]="DGBAECF",post[]="GDBEFCA"; BTNode *b2; b2=CreateBT2(post,in,7); printf("b2:"); DispBTNode(b2); printf("\n"); return 0;}
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3.由顺序存储结构转为二叉链存储结构
main.cpp
#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"#define N 30typedef ElemType SqBTree[N];BTNode *trans(SqBTree a,int i){ BTNode *b; if (i>N) return(NULL); if (a[i]=='#') return(NULL); //当节点不存在时返回NULL b=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建根节点 b->data=a[i]; b->lchild=trans(a,2*i); //递归创建左子树 b->rchild=trans(a,2*i+1); //递归创建右子树 return(b); //返回根节点}int main(){ BTNode *b; ElemType s[]="0ABCD#EF#G####################"; b=trans(s,1); printf("b:"); DispBTNode(b); printf("\n"); return 0;}
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