【证明】放球问题

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放球问题是指把 n个球放到 m个盒子里的方案数。它是组合数学的一个非常重要的问题。根据球是否相同，盒子是否有区别，是否允许有空盒以及n与m 的大小关系，放球问题可分成 16 个子问题。
1. n 个球有区别,m 个盒子有区别,允许有空盒,n≥m≥1
　　由于可以有空盒,所以每个球可以放到m个盒子的任意一个盒子里。又因为盒子是有区别的,所以对于任意一个球有m种不同的选择。 n个球是有区别的,所以总共有种方案。比如,当n=3 时,第 1 个球有m种不同选择,第 2 个球有m种不同选择,第3个球有m种不同选择,据乘法法则总共有种方案。
2. n 个球有区别,m 个盒子有区别,允许有空盒,m>n≥1。
　　由于可以有空盒,所以每个球可以放到m个盒子的任意一个盒子里。又因为盒子是有区别的,所以对于任意一个球有m种不同的选择。n个球是有区别的,所以总共有种方案。
3. n 个球有区别,m 个盒子无区别,无空盒,n≥m≥1
　　根据《组合数学》中第二类司特林数的定义，n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数为S(n,m)。
4. n 个球有区别,m 个盒子无区别,无空盒,m>n≥1
　　由于m>n,而n个球至多可放入n个盒子里,所以必定有空盒。故满足此条件的方案数为 0。
5. n 个球有区别,m 个盒子有区别,无空盒,n≥m≥1
　　对于这个问题,可以先假设m个盒子是无区别的,这样根据 3 可知总共有S(n,m)种不同的方案数。然后再把m个盒子进行全排列，所以总共有m!S(n,m)种方案。
6. n 个球有区别,m 个盒子有区别,无空盒,m>n≥1
　　由于m>n, 而n个球至多可放入n个盒子里,所以必定有空盒。故满足此条件的方案数为 0。
7. n 个球有区别,m 个盒子无区别,允许有空盒,n≥m≥1
　　因为允许有空盒,我们可以设非空的盒子数是k个。则问题变成n个有区别的球放到k个无区别的盒子里,要求无一空盒。据3可知,总共有S(n,k) 种方案。因为n≥m, k的取值范围是[1, m]， 所以共有S(n, 1) + S(n, 2) + …… + S(n, m)种方案。
8. n 个球有区别,m 个盒子无区别,允许有空盒,m>n≥1
　　因为允许有空盒,我们可以设非空的盒子数是k个。则问题变成n个有区别的球放到k个无区别的盒子里,要求无一空盒。据3可知,总共有S(n,k) 种方案。因为m>n, k的取值范围是[1, n]， 所以共有S(n, 1) + S(n, 2) + …… + S(n, n)种方案。
9. n 个球无区别,m 个盒子有区别,允许有空盒,n≥m≥1
　　先介绍允许重复的组合的概念。允许重复的组合是指从集合A={1,2,……,n}中取r个元素!{}, 并且允许当 时， .例如A={1,2,3}, 取A中2个元素作允许重复的组合,除了不重复的{1,2}, {1,3}和{2,3}外，还包含{1,1}, {2,2}, {3,3}。根据《组合数学》可知，在n个不同的元素中取r个作允许重复的组合,其组合数为C(n+r-1, r)。设m个不同的盒子构成集合M。每次从集合M中取出n个元素作允许重复的组合。若组合中,第i个盒子出现了k次(n≥k≥0)，则表示第i个盒子中有k个球。因此问题可表示为 从m个不同的元素中取n个作允许重复的组合,其方案数为C(m+n-1, n)。
也可利用“插板法”来理解。假设n个球和m-1个板放到n+m-1个位置，第1个板前的放进第一个盒子，第i-1个版和第i个版之间的球放进第i个盒子，则共有C(m+n-1,n)种放法。由于此时板可以连续放，故对应允许有空盒的情况。
10. n 个球无区别,m 个盒子有区别,允许有空盒,m>n≥1
　　此问题可表示为从m个不同的元素中取n个作允许重复的组合,其方案数为C(m+n-1, n)。
11. n 个球无区别,m 个盒子有区别,无空盒,n≥m≥1
　　由于要求无空盒,而且n个球无区别,所以先取出m个球放入m个盒子里。此时,这个问题可转化为求将(n-m)个无区别的球放入m个有区别的盒子里,允许有空盒的方案数。这 个 问 题 就 变 成 了 9 所 解 决 的 问 题 。 因此有C(m+(n-m)-1, n-m)=C(n-1, n-m)=C(n-1, n-1-(n-m))=C(n-1,m-1)种方案。
12. n 个球无区别,m 个盒子有区别,无空盒,m>n≥1
　　由于m>n，而n个球至多可放入n个盒子里,所以必定有空盒。故满足此条件的方案数为 0。
13. n 个球无区别,m 个盒子无区别,允许有空盒,n≥m≥1
　　此问题相当于把n个球分成k堆,其中m>=k>1。根据《组合数学》中2.9 节的推论:设n≥m，n拆分成最多m个数的和的拆分数等于将n拆分成最大数不超过m的拆分数。据上述推论可把问题转化为把整数n拆分成最大数不超过m的拆分数。而把整数拆分成最大不超过m的拆分数 的母函数为 。
故满足条件的方案数等于把n用{1,2,…,m}进行拆分的拆分数,等于G(x)的 项系数。
14. n 个球无区别,m 个盒子无区别,允许有空盒,m>n≥1
　　此问题相当于把n个球分成k堆。其中m>=k>1且n>=k>1。又因m>n，所以k的取值范围为n>=k>1。
　　据13 可知此问题可转化为把整数n拆分成最大数不超过n的拆分数。而把整数拆分成 最 大不 超 过n的 拆 分 数的母函数为
故满足条件的方案数等于把n用{1,2,…,n}进行拆分的拆分数,等于G(x)的项系数。
15. n 个球无区别,m 个盒子无区别,无空盒,n≥m≥1
　　我们可先将每个盒子放一个球，然后利用类比13题，即 满足条件的方案数等于G(x)的项系数。
16. n 个球无区别,m 个盒子无区别,无空盒,m>n≥1
　　由于m>n, 而n个球至多可放入n个盒子里,所以必定有空盒。故满足此条件的方案数为0。