图解树状数组

        希望能帮助大家理解树状数组。

        树状数组的好处我就不说了，为了方便理解树状数组，在这里我们先假设一个具体的普通数组A{0，1，2，3.。。。。}。普通数组的每个元素就让他和下标相等好了。然后再给出相对应的树状数组C，0的位置就不用了，开头一部分如下图：

        先看图片有什么规律，C1存的就是A1，C2存的是C1加上A2，C3存的只是C3，C4存了C2+C3+A4等等。可以先不理解为什么要这样存。要看懂树状数组我们重点看他的二进制下标，再看一下他的二进制下标有什么规律，最底下一排下标最右边都是1，第二排（C2、C6等）下标右边都是一个0，第三排（C4、C12）下标右边都有两个0等等，还有（C1->C2->C4->C8->C16...）这样沿着最上面往右走，这些下标的二进制都只有一个0，，而1的位置越来越靠左；现在你可能不知道这些规律有什么意义，但在后面会帮助你理解。

        如果你要修改其中一个元素需要怎么办呢？比如修改第六个元素（开头说了0位置我们不看，所以就是下标为6的位置），由图我们可以看到肯定需要先修改C6，然后修改C8，然后修改C16，这样沿着线一直修改到最后，很多元素都要修改，那么问题来了，我们修改完C6之后怎么样才能知道下一个需要修改哪里呢？在这里我们可以想到整个修改操作可以用一个函数来完成，传进去两个参数，要修改的第一个位置，以及加上多少，在这里第一个参数就是6，下面贴上代码：

int lowbit(int k){return k&(-k);}void add(int k,int num)  {      while(k<=n)      {          C[k]+=num;          k+=lowbit(k);     }  }

        只看add函数，先不管lowbit函数，传进去位置k之后，只要k没超过边界，就在位置k上进行修改，然后k移动一下，这比较好理解，可是关键k要怎么移动？可以看到lowbit函数就是用来做这个操作的。

        lowbit就是低比特位的意思，你给他一个数（这里看二进制），他会把最低位的1给你返回，比如传进去10110（随便编的），他不管前面多少1，最右边的1在从右往左第二个位置，那么他就给你返回10，不管前面有几个0几个1。也就是说k&-k就可以把一个数二进制最右边的1给取出来，现在说一下它的过程，比如一个数是1101101，那么他的相反数（负数）的二进制，是原数每一位取反，即0010010，然后加一，即0010011，然后做&运算，便只剩下了最右边的1。此处关键在于那个+1，可以多变换几次细细体会。

        所以k加上lowbit（k）就等于在k的最低位1上加1，也就是把最右边的1拿出来，往左放一位。可是为什么在k的最低位上加1就是下一个位置呢？看一下图就很明显了。随便找一个比如C5，下标是00101，把最右边的1往左移一下，就是00110，也就是C6的位置，正确，00110再把最右边的1往左移，此时需要进位，也就变成了01000，就是C8的位置，此时只有一个1，再把它往左移一下变成了10000，即C16....可以发现这刚好就是沿着元素变化会影响到的方向在移动，随便找一个点都是如此。所以修改一个元素只要不停的在下标上加lowbit（下标）就好了。到此为止就是建立数组的过程。（每次修改一个元素就要进行一组循环会不会太浪费时间了？其实可以很容易看出每次移动1就相当于乘了2，n个元素从第一个开始修改也才进行lg n次循环

        那么怎么用呢。这里我们用求前k个元素的和来举例子。先看图，如果k=6，求前六项的和应该怎么求，依然看图，应该是C6+C4，因为C4包含了前四项，C6包括了第5项和第6项，那么我们怎么才能知道是哪几项相加呢？

上代码：

int read(int k)//1~k的区间和  {      int sum=0;      while(k)      {          sum+=C[k];          k-=lowbit(k);      }      return sum;  }  

        代码依然是很少。可以看到从需要求的位置开始累加，每次减去一个lowbit（k），直到k为0。我们已经知道lowbit返回的是最低位的1，那么减去最低位的1，就是每次把最右边1变成0，直到没有1，即数字为0了。这个过程是怎样的呢，从图上看，C6，00110去掉最右边的1是00100，即C4，再去掉最右边的1，因为00100只有一个1，去掉之后就变成0，退出循环，刚刚好。可以再看一个复杂一点的，求前15项和，看图，C15为01111，去掉最右边1为01110（C14），再去掉最右边1为01100（C12）,再去掉最右边1为01000（C8），再去掉1为0，退出循环，可以求得和为C15+C14+C12+C8，正确。