算法导论（九）——图

算法导论（九）——图

 

广度优先搜索（Breadth First Search）：从一个顶点开始，搜索所有可到达的顶点。它将邻接未访问点都加入队列，在对当前访问点进行邻接搜索。

【类似二叉树的层次遍历】

virtual void bfs(int v,int reach[],intlabel) {

       arrayQueue<int>q(10);

       q.push(v);

       reach[v]= label;//from v

       while(!q.empty()) {

       //deletewhich had been labeled

              intw = q.front();

              q.pop();

              //adjacentvertex

              vertexIterator<T>*iw = iterator(w);

              intu;

              while((u=iw->next())!=0){

                     if(reach[u] == 0) {

                            q.push(u);

                            reach[u]= label;

                     }

      }

              deleteiw;

       }

}

在实际操作时，针对邻接加权有向图 (a[w][u])或链接图(u=aList[w].firstNode,u=u->next)，采用定制版的代码能提高效率，主要改动是搜索邻接w的未访问的顶点部分。参考P409.

深度优先搜索（Depth First Search）：它将邻接未访问点当作候选，从某个点开始搜索，终止时返回上一级搜索。

【类似二叉树的前序遍历】

void dfs(int v, int reach[], int label) {

       graph<T>::reach= reach;

       graph<T>::label= label;

       rDfs(v);

}

void rDfs(int v){

       reach[v]= label;

       vetexIterator<T>*iv = iterator(v);

       intu;

       while((u = iv->next) != 0) {

              rDfs(u);

       }

       deleteiv;

}

详细代码见：http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3483650.html

比较：两种方法具有相同的时间和空间复杂性，不过它们的最好和最坏情况恰好相对。深度优先搜索效率更高用得更多。

 

最短路径算法，

1.    单源路径——Dijkstra Alg

【最短路径的子路径也是最短路径】

面试常见问题：

1.    判断图是否存在环G=(V,E)

无向图：

①   i)如果E>=V，则根据图论知识可直接判断存在环路。（证明：如果没有环路，则该图必然是k棵树 k>=1。根据树的性质，E=V-k）             

    ii)如果E<V,

1.求出图中所有顶点的度，

2.删除图中所有度<=1的顶点以及与该顶点相关的边，把与这些边相关的顶点的度减一

3.如果还有度<=1的顶点重复步骤2

4.最后如果还存在未被删除的顶点，则表示有环；否则没有环   复杂度O（E+V），

注：初始时刻统计所有顶点的度的时候，复杂度为(V + E)，最差的复杂度就为O(EV)了。

 

②遍历整图，找到连通域P个，若 E + P > V,则原图有环，否则无环

 

③ DFS搜索图，在遍历的过程中，发现某个节点有一条边指向已经访问过的节点，并且这个已访问过的节点不是当前节点的父节点，则表示存在环。该算法的复杂度为O(V)。

为防止环重复计算，将节点分为白、灰、黑三种状态。

【http://blog.csdn.net/u010040029/article/details/52861473】

 

有向图：

①拓扑排序，若不能完成则含有环

计算图中所有点的入度，把入度为0的点加入栈；如果栈非空：（ 取出栈顶顶点a，输出该顶点值，删除该顶点，从图中删除所有以a为起始点的边，如果删除的边的另一个顶点入度为0，则把它入栈）；如果图中还存在顶点，则表示图中存在环；否则输出的顶点就是一个拓扑排序序列

 

②强连通域（对于一个图的某个子图，该子图中的任意u->v,必有v->u）

 

③改进的DFS。将深搜的点加一个特殊标记，如果从当前的点往下搜的时候，发现了这个特殊标记，立刻判定有环。【http://blog.csdn.net/panhe1992/article/details/8366466】

或者是每个节点标记成白、灰、黑三种状态，按照节点标记为黑色的时间，越先标记为黑色，在拓扑序列中越靠后（栈） 【http://blog.csdn.net/u010040029/article/details/52861473】