java算法：分治法

分治法用于算法设计的最重要实例：在一个程序中使用两个或多个递归调用。

例1：用分治法找到最大值

Java代码

1. static double max(double a[], int l, int r){   
2.     if(l == r){   
3.         return a[l];   
4.     }   
5.     int m = (l + r)/2;   
6.     double u = max(a, l , m);   
7.     double v = max(a, m + 1, r);   
8.     if(u > u){   
9.         return u;   
10.     }else{   
11.         return v:   
12.     }   
13. }  

static double max(double a[], int l, int r){if(l == r){return a[l];}int m = (l + r)/2;double u = max(a, l , m);double v = max(a, m + 1, r);if(u > u){return u;}else{return v:}}

分治法比简单的循环算法更加快捷。

一个有趣的例子：3个柱子和N个与柱子配套的盘子，盘子大小不同，从N（大）到1（小）的顺序放在其中一个柱子上。任务：移动到最右边的柱子上。一次只能移动一个，大的盘子不能放在小的盘子上。

例2：汉诺塔问题的递归分治法所产生的解决方法要移动2的N次方-1次。

Java代码

1. static void hannoi(int n, int d){   
2.     if(n == 0){   
3.         return;   
4.     }   
5.     hanoi(n - 1, -d);   
6.     shift(n, d);   
7.     hanoi(n - 1, -d);   
8. }  

static void hannoi(int n, int d){if(n == 0){return;}hanoi(n - 1, -d);shift(n, d);hanoi(n - 1, -d);}

例3：用分治法画刻尺

Java代码

1. static void rule(int l, int r, int h){   
2.     int m = (l + r)/2;   
3.     if(h > 0){   
4.         rule(l, m, h - 1);   
5.         mark(m, h);   
6.         rule(m, r, h - 1);   
7.     }   
8. }  

static void rule(int l, int r, int h){int m = (l + r)/2;if(h > 0){rule(l, m, h - 1);mark(m, h);rule(m, r, h - 1);}}

对于任意给定的i，有更简单的方法来计算第i个标记长度：即i的二进制尾数0的个数。

Java代码

1. 0 0 0 0 1  
2. 0 0 0 1 0  1  
3. 0 0 0 1 1  
4. 0 0 1 0 0  2  
5. 0 0 1 0 1    
6. 0 0 1 1 0  1  
7. 0 0 1 1 1    
8. 0 1 0 0 0  3  
9. 0 1 0 0 1  
10. 0 1 0 1 0  1  
11. 0 1 0 1 1     
12. 0 1 1 0 0  2  
13. 0 1 1 0 1    
14. 0 1 1 1 0  1  
15. 0 1 1 1 1  
16. 1 0 0 0 0  4  
17. 1 0 0 0 1  
18. 1 0 0 1 0  1  
19. ...  

0 0 0 0 10 0 0 1 0  10 0 0 1 10 0 1 0 0  20 0 1 0 1 0 0 1 1 0  10 0 1 1 1 0 1 0 0 0  30 1 0 0 10 1 0 1 0  10 1 0 1 1  0 1 1 0 0  20 1 1 0 1 0 1 1 1 0  10 1 1 1 11 0 0 0 0  41 0 0 0 11 0 0 1 0  1...

例4：画刻尺的非递归程序

Java代码

1. static void rule(int l, int r, int h){   
2.     for(int t = 1, j = 1; t <= h; j += j, t++){   
3.         for(int i = 0; l +j + i <= r; i += j + j){   
4.             mark(l + j + i, t);   
5.         }   
6.     }   
7. }   

static void rule(int l, int r, int h){for(int t = 1, j = 1; t <= h; j += j, t++){for(int i = 0; l +j + i <= r; i += j + j){mark(l + j + i, t);}}} 

一般来说，许多递归程序取决于解决子问题的特定顺序，但对于另一些算法（用分治法找最大值），则与解决子问题的顺序无关。对于这样的算法，唯一的限制条件是我们再解决主问题之前必须先解决子问题。什么时候可以重排计算是很重要的。在考虑并行处理器上实现算法时，这个问题就更重要了。自底向上的方法与一般算法设计的思路是一样的，即总先解决那些容易处理的子问题，然后把这些解结合起来，从而解决稍大的子问题，直到整个问题得于解决，这种方法就是分治法。

快速排序和折半查找是基本的分治法思想的变体，即把问题分成大小为k-1和N-k的子问题，k值由输入决定。