算法(07)：分治法

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

例如，我们要寻找存储在数组a[0],...,a[N-1]的N项中的最大值，我们可以对数组进行一次循环就能很容易的完成任务：
for(t=a[0],i=1;i<N;i++)
 if(a[i]>t)t=a[i];

那么我们用分治法解决应该如何实现：

static double max(double a[],int l,int r)
...{
 if(l==r)return a[l];
 int m=(l+r)/2;
 double u=max(a,l,m);
 double v=max(a,m+1,r);
 if(u>v)return u;else return v;
}

我们将数组a[l],...,a[r]分成a[l],...,a[m]和a[m+1],...,a[r]连个部分，分别找到连个部分的最大值（递归地），然后再进行比较两者的返回值。

通常分治法比简单的循环算法更加快捷。