迭代法与开方求值

迭代法与计算机求解开方运算密切相关，在计算机中如何开方？我们先了解一下计算机如何做加减乘除。

加法和减法运算在计算机中是最简单的，硬件上可以通过全加器来实现，具体细节不再展开。那么，计算机如何做乘除运算呢。

1.乘法
由于计算机中，所有数值都是用2的N次方来表示的:2^n0+2^n1+2^n2+2^n3+2^n4.....
因此x*y,(x)*(2^n0+2^n1+2^n2+2^n3+2^n4)=(x*2^n0)+(x*2^n1)+(x*2^n2)+(x*2^n3)+(x*2^n4)+......即(x左移n0)+(x左移n1)+(x左移n2)+(x左移n3)+(x左移n4)+......

用15(x)*13(y)来举例，15*13 为1111*1101
a.首先y的最低位为1(2^0)，x左移0位得到1111
b.然后y的最低第二位为0，没有2^1存在，因此本次无运算(结果可以看作为0)
c.然后y的最低第三位为1(2^2)，x左移2位得到111100
d.然后y的最低第四位为1(2^3)，x左移3位得到1111000
e.把a、b、c、d的结果相加1111+0+111100+1111000=11000011(195),该结果就是乘法的结果

特别的，x*y中，如果y是2的N次方，因此相当于x右移N位。

2.除法(加减交替法)
x/y其实就是，x不断减y的过程。小学时候学的长长除法就是这个原理。
用二进制的除法x/y，比十进制容易写，商不是0即是1，而且如果除数大于除数的1倍，商就是标记在另一个位上面了

二进制除法x/y=0.1001/0.1011手工计算如下
            0.11  
       _______
0.1001/0.1001
         10010(后面补0)
         -1011
        ------
           111(余数)
           1110(后面补0)
          -1011
        --------
              1(余数)
              
设ri表示第i次运算后所得的余数,则：
若ri>0，则商1，余数和商左移1位，再减去除数，即ri+1=2ri-y
若ri<0，则商0，余数和商左移1位，再加上除数，即ri+1=2ri+y

用85/6来举例,85/6=1010101/110
a.101(0101)左移1位到第3位都小于110，因此商=000
b.1010(101)左移四位是1010,比110大，商=0001,余数=1010-110=100(101)
c.余数100(101)左移一位是1001,比110大，商=00011,余数=1001-110=11(01)
d.余数11(01)左移一位是110,等于110，商=000111,余数=0(1)
e.余数0(1)左移一位是01,小于110,商=0001110,余数=01

因此85/6=1010101/110=0001110，即14，余数为最后的余数1

由此可见，计算机做乘法运算更加简单，它只需要移位相加即可，但除法运算就稍微复杂。那么，它如何进行开方运算呢？

答案是：算法。即通过算法将复杂的开方运算变为简单的乘除运算。

具体的做法如下： 

1. 为了计算数字S的平方根，从选择一个任意的猜测值g开始。一种可能就是将g设为S，尽管也可以选择任何其他的整数值。
2. 如果猜测值g足够接近正确的平方根，算法结束，函数将g作为结果返回。
3. 如果g不够精确，用g和S/g的平均值作为新的猜测值。因为这两个值中的一个小于确切的平方根，另一个则大于确切的平均值，                                                      选择平均值会使你得到一个更接近正确答案的值。
4. 把新的猜测值存入变量g,从第二步开始重复过程、

 计算公式如下：