最大子段-n上找m个子段的和为最大-动态规划-二维dp+滚动数组dp优化

1.二维dp

dp[i][j]代表的是j长度上找到i段，使得i段和最大。（其中最后一段的最后一位一定要是a[j]，这句话不理解的可以看看http://blog.csdn.net/qq_36523667/article/details/78598426）

这时最后一段分为两种情况：

1.a[j]是最后一段的一部分

2.a[j]自己成为最后一段

用算式表示为

1.dp[i][j - 1] + a[j]意思就是从j-1中重新选i段，再把j添加到最后一段的最后

2.max(dp[i - 1][k]) + a[j]，i - 1 <= k < j，意思就是从i-1到j中重新选i段取最大值，再加上最后一段组成i段

代码

// TODO: 2017/11/22 动态规划m子段-二维dpint dynamicM(int[] a, int m) {    int n = a.length;    int[][] dp = new int[100][100];    for (int i = 1; i <= m; i++) {        for (int j = i; j < n; j++) {            int max = 0;            //在当前j找？段的最优解（？是因为找几段并没有体现出来）            for (int k = i - 1; k < j; k++) {                max = Math.max(max, dp[i - 1][k]);            }            dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1] + a[j], max + a[j]);        }    }    return dp[m][n - 1];}

2.滚动数组优化

由于上面的时间复杂度到达了n^3，所以不优化会爆掉的。

仔细看一下上面的代码，虽然思考模式是j中找i个，但是实际上i根本就没有用到，所以我们先把二维dp变成一维的。

此外

for (int k = i - 1; k < j; k++) {

                max = Math.max(max, dp[i - 1][k]);

            }

只需要记录下这个j位上的最大值即可。下一次循环的时候，再去使用记录下来的最大值。

// TODO: 2017/11/22 动态规划m子段-滚动数组int dynamicM2(int[] a, int m) {    int n = a.length;    int[] max = new int[100];    int[] dp = new int[100];    int mMax = Integer.MIN_VALUE;    for (int i = 1; i <= m; i++) {        mMax = Integer.MIN_VALUE;        for (int j = i; j < n; j++) {            dp[j] = Math.max(dp[j - 1] + a[j], max[j - 1] + a[j]);            max[j - 1] = mMax;            mMax = Math.max(mMax, dp[j]);        }    }    return mMax;}

综上所述，第一份代码写出来，和二维dp的思维有关，是有迹可循的。但是第二份代码写出来，完全是因为，发现了，第一份代码虽然思维上是找在不同段上找不同i的最优解，但是i的作用没有体现出来，所以可以察觉到可以把二维降成一维，并且记录下max就可以消除一个循环的复杂度。第二份代码与技术有关。

当然了，第二份代码想直接写出来，需要另一种思维。

第二份代码到底是怎样的一种思维？

（前方高能，灵魂升华！）

先重新讲一下有关于这一题的dp：

n中找m段使之和最大，最后一段的最后一位有可能在各个地方，可能正好就是在n上，也可能是n-1上。。。

所以这里就把状态抽象出来了：j上找i个使之和最大，但是多了一个条件，a[j]必须在最后一段的最后一位上。

所以我们的j是可以在不同的位置上

for (int j = i; j < n; j++) {

以此实现了遍历每一种情况。

所以我们的思维就是这样的，在不同的j上找m段使之最大。这些不同的结果我们取一个最大值就是我们的结果了。

实在不懂我来个图。

你最后一段的最后一个位置可以在任何一个地方。所以我们的j循环就是针对这个而设置的。那么你的dp[j]就代表了最后一段的最后一个数在所有不同位置上的找m段使之和最大的情况。

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好吧，我前面还是讲的太乱了。最后简单浓缩的讲一下。

还是看这个图。你的第一段的第一个数，和你最后一段的最后一个数，有好多好多个可能。我们用

for (int i = 1; i <= m; i++) {    for (int j = i; j < n; j++) {

这两个for循环的目的就是把你的第一个点（后面称之为左节点）和你最后一个点（后面称之为右节点）的所有情况都列举出来（这里i=1是因为我们传进来的数组是从1开始赋值的），然后，再在这一段区间中去找m段使之和最大。（这就是下面这个公式中dp[j]的含义）

dp[j] = Math.max(dp[j - 1] + a[j], max[j - 1] + a[j]);

所以这个公式的可以这样理解：

如果你的a[j]是最后一段的一部分，你就在你的左节点相同，右节点-1的这种情况找到m个，a[j]添加到最后一段中去。

如果你的a[j]自成一段，你就需要在你的左节点相同，右节点范围左节点到原右节点之间找到m-1个。

max[j - 1] = mMax;mMax = Math.max(mMax, dp[j]);

mMax就是记录了你当前位之前最大的dp

这题让我领悟到了：最对的思维+最强的技巧=最优的性能