基本算法（整数划分）

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成为

其中，

为正整数，并且

；

为n的一个划分。

如果

中的最大值不超过m，即

，则称它属于n的一个m划分。

这里我们记n的m划分的个数为

。

例如，当n=4时，有5个划分，即

，

，

，

，

。

注意：

和

被认为是同一个划分。

根据n和m的关系，考虑一下几种情况：

（一）当

时，无论m的值为多少

，只有一种划分，即

。

（二）当

时，无论n的值为多少，只有一种划分，即n个1，

。

（三）当

时，根据划分中是否包含n，可以分为以下两种情况：

（1）划分中包含n的情况，只有一个，即

。

（2）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有

划分。

因此

。

（四）当

时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于

。

（五）当

时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为以下两种情况：

（1）划分中包含m的情况，即

，其中

的和为n-m，因此这种情况下为

。

（2）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的

划分，个数为

。

因此

。

 

综上所诉：    

20 以内的一个数：

#include <stdio.h>

int main()

{
 int s, i, j, k, t, u;

 static int a[21][800][21];

 printf("input s(s<=20):"); scanf_s("%d", &s);

 a[2][1][1] = 1; a[2][1][2] = 1; a[2][2][1] = 2;

 u = 2;

 for (k = 3; k <= s; k++)

 {
  for (j = 1; j <= u; j++)

  {
   a[k][j][1] = 1;

   for (t = 2; t <= k; t++)         // 实施在k−1所有划分式前加1操作 

    a[k][j][t] = a[k-1][j][t-1];

  }

  for (i = u, j = 1; j <= u; j++)

   if (a[k-1][j][1]<a[k-1][j][2])   // 若k−1划分式第1项小于第2项 

   {
    i++;               // 第1项加1为k的第i个划分式的第1项 

    a[k][i][1] = a[k-1][j][1] + 1;

    for (t = 2; t <= k-1; t++)

     a[k][i][t] = a[k-1][j][t];

   }

  i++; a[k][i][1] = k;              // k的最后一个划分式为：k=k 

  u = i;

 }

 for (j = 1; j <= u; j++)                // 输出s的所有划分式 

 {
  printf("%3d: %d=%d", j, s, a[s][j][1]);

  i = 2;

  while (a[s][j][i]>0)

  {
   printf("+%d", a[s][j][i]); i++;
  }

  printf("\n");

 }
 return 0;
}