线性基（bzoj 2460: [BeiJing2011]元素）

线性基：

包含最多h个数(a1, a2, a3, …, ah)，其中ak如果存在，那么最高位一定是第k位

性质①：线性基中任意集合xor出来的数的值域 = 原数列任意集合xor出的数的值域

性质②：线性基中任意集合xor出来的数都不一样

性质③：线性基中任意集合线性无关（可以理解为不可能异或出0）

性质④：线性基中任意元素异或，异或集合不变

构造方法：对于当前x，从最高位（第h位）开始扫，扫到第k位为1时，若ak不存在，那么ak = x并结束，否则 x = x^ak，这么操作之后，要不x被插入了线性基，要不某个时刻变为0

（PS：可以将线性基处理为行最简式矩阵）

过程模拟：

n = 5, a = {7, 1, 4, 3, 5}

初始矩阵：              ->插入7后：               ->插入1后：

0  0  0                         1  1  1                         1  1  1

0  0  0                         0  0  0                         0  0  0

0  0  0                         0  0  0                         0  0  1

->插入4后：4的二进制是100，最高位是第三位，所以要先xor7 = 3(011)，因为不存在最高位是第二位的，插入

1  1  1

0  1  1

0  0  1（其实到这里，就可以看出来后面的数字（最高位<=3的）都已经全部加不上了）

->插入3：3的二进制是011，最高位是第二位，所以要先xor3 = 0（这个数已经成0了，跳过）

->插入5：5的二进制是101，最高位是第三位，5^7 = 2，之后最高位是第二位：2^3 = 1，之后……变成0了

特殊：两个线性基的合并：直接将第二个线性基拆掉依次插入第一个线性基即可

下面统一规定：如果某个ak不存在，即线性基里不存在最高位为k的数，就默认ak=0（当然它肯定还是不存在）

线性基的作用：

①看起来很厉害

②查询n个数子集异或最大值：

处理出线性基后，从大到小扫，如果异或ak后更大，那么就异或

③判断某个数是否是某个子集的异或和：

设这个数为x，如果x的第k位是1，那么就异或ak，当然这个必须从高位到低位扫，最后结果为0说明可以被异或出来，当然x=0要特判！这个超好办只要某个元素没法插入线性基不就说明它被异或成0了嘛

④查询n个数子集异或第K小值（去重后）：

先修改线性基，使其为行最简式矩阵，也就是对于每一位i，最多只有一个数满足第i位是1。（这个很简单：对于ak，如果ai满足i>k，且ai第k为1，那么ai = ai^ak）

之后将K转成二进制，初始化ans=0，如果K的第k位是1，就将ans异或上线性基里第k小的元素（不是ak）

这个可以用拟阵证明

原题请见：HDU 3949

其它线性基基础练习：

Codeforces Round #448 (Div. 2): C. Square Subsets

BZOJ 2844: albus就是要第一个出场

难题练习（真的很难）：

BZOJ 2115: [Wc2011] Xor

BZOJ 3811: 玛里苟斯

2460: [BeiJing2011]元素

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Description

  相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。
一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。 
  后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来为零。 （如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释。 ）例如，使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起来为零。 
  并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。 
   现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。 

Input

第一行包含一个正整数N，表示矿石的种类数。 
  接下来 N行，每行两个正整数Numberi 和 Magici，表示这种矿石的元素序号
和魔力值。

Output

仅包一行，一个整数：最大的魔力值

Sample Input

3

1 10

2 20

3 30

Sample Output

50

因为线性基是线性无关的，全部异或起来不等于0

所以这题就是让你构造出一个线性基，使得线性基中所有元素的总价值最高

就和bzoj 3105这题很像

直接将所有元素从大到小排序，然后依次加入线性基中，最后生成的线性基总价值一定最高

#include<stdio.h>#include<algorithm>using namespace std;#define LL long longtypedef struct Res{LL x;int val;bool operator < (const Res &b) const{if(val>b.val)return 1;return 0;}}Res;Res s[1005];LL p[66];int main(void){int n, i, j, ans;scanf("%d", &n);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%d", &s[i].x, &s[i].val);sort(s+1, s+n+1);ans = 0;for(i=1;i<=n;i++){for(j=62;j>=0;j--){if(s[i].x&(1ll<<j)){if(p[j]==0){p[j] = s[i].x;ans += s[i].val;break;}elses[i].x ^= p[j];}}}printf("%d\n", ans);return 0;}