扩展欧拉定理
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扩展欧拉定理
证明转载自http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361
- 在
a 的0 次,1 次,…,b 次幂模m 的序列中,前r 个数(a0 到ar−1 )互不相同,从第r 个数开始,每s 个数就循环一次。
证明:由鸽巢定理易证。
我们把r 称为a 幂次模m 的循环起始点,s 称为循环长度。(注意:r 可以为0 )
用公式表述为:ar≡ar+s(mod m) a 为素数的情况
令m=prm′ ,则gcd(p,m′)=1 ,所以pϕ(m′)≡1(mod m′)
又由于gcd(pr,m′)=1 ,所以ϕ(m′)|ϕ(m) ,所以pϕ(m)≡1(mod m′) ,
即pϕ(m)=km′+1 ,两边同时乘以pr ,得pr+ϕ(m)=km+pr (因为m=prm′ )
所以pr≡pr+s(mod m) ,这里s=ϕ(m) - 推论:
pb≡pr+(b−r)%ϕ(m)(mod m) - 又由于
m=prm′ ,所以ϕ(m)≥ϕ(pr)=pr−1(p−1)≥r
所以pr≡pr+ϕ(m)≡pr%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
所以pb≡pr+(b−r)%ϕ(m)≡pr%ϕ(m)+ϕ(m)+(b−r)%ϕ(m)≡pϕ(m)+b%ϕ(m)(mod m)
即pb≡pb%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m) a 为素数的幂的情况
是否依然有ar′≡ar′+s′(mod m) ?(其中s′=ϕ(m),a=pk )
答案是肯定的,由2知ps≡1(mod m′) ,所以ps×kgcd(s,k)≡1(mod m′) ,所以当s′=sgcd(s,k) 时才能有ps′k≡1(mod m′) ,此时s′|s|ϕ(m) ,且r′=⌈rk⌉≤r≤ϕ(m)
由r′,s′ 与ϕ(m) 的关系,依然可以得到ab≡ab%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m) a 为合数的情况
只证a 拆成两个素数的幂的情况,大于两个的用数学归纳法可证。
设a=a1a2,ai=piki ,ai 的循环长度为si
则s|lcm(s1,s2) ,由于s1|ϕ(m),s2|ϕ(m) ,那么lcm(s1,s2)|ϕ(m) ,所以s|ϕ(m) r=max(⌈riki⌉)≤max(ri)≤ϕ(m)
由r,s 与ϕ(m) 的关系,依然可以得到ab≡ab%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
证毕。
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