扩展欧拉定理

ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)    gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)       (mod p)

证明转载自http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361

1. 在a的0次，1次，…，b次幂模m的序列中，前r个数(a0到ar−1)互不相同，从第r个数开始，每s个数就循环一次。
   证明：由鸽巢定理易证。
   我们把r称为a幂次模m的循环起始点，s称为循环长度。（注意：r可以为0）
   用公式表述为：ar≡ar+s(mod m)
2. a为素数的情况
   令m=prm′，则gcd(p,m′)=1，所以pϕ(m′)≡1(mod m′)
   又由于gcd(pr,m′)=1，所以ϕ(m′)|ϕ(m)，所以pϕ(m)≡1(mod m′)，
   即pϕ(m)=km′+1，两边同时乘以pr，得pr+ϕ(m)=km+pr（因为m=prm′）
   所以pr≡pr+s(mod m)，这里s=ϕ(m)
3. 推论：pb≡pr+(b−r)%ϕ(m)(mod m)
4. 又由于m=prm′，所以ϕ(m)≥ϕ(pr)=pr−1(p−1)≥r
   所以pr≡pr+ϕ(m)≡pr%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
   所以pb≡pr+(b−r)%ϕ(m)≡pr%ϕ(m)+ϕ(m)+(b−r)%ϕ(m)≡pϕ(m)+b%ϕ(m)(mod m)
   即pb≡pb%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
5. a为素数的幂的情况
   是否依然有ar′≡ar′+s′(mod m)？(其中s′=ϕ(m),a=pk)
   答案是肯定的，由2知ps≡1(mod m′)，所以ps×kgcd(s,k)≡1(mod m′)，所以当s′=sgcd(s,k)时才能有ps′k≡1(mod m′)，此时s′|s|ϕ(m)，且r′=⌈rk⌉≤r≤ϕ(m)
   由r′,s′与ϕ(m)的关系，依然可以得到ab≡ab%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
6. a为合数的情况
   只证a拆成两个素数的幂的情况，大于两个的用数学归纳法可证。
   设a=a1a2,ai=piki，ai的循环长度为si
   则s|lcm(s1,s2)，由于s1|ϕ(m),s2|ϕ(m)，那么lcm(s1,s2)|ϕ(m)，所以s|ϕ(m)
   r=max(⌈riki⌉)≤max(ri)≤ϕ(m)
   由r,s与ϕ(m)的关系，依然可以得到ab≡ab%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
   证毕。