【剑指Offer】斐波那契数列及其延伸问题——JavaScript实现

斐波那契数列问题

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。

分析

斐波那契数列是这样一个数列，第1项、第2项都为1，后面每项是前两项之和：1,1,2,3,5,8,13,21,34...，即f（n）=f（n-1）+f（n-2）。这个问题用递归解决的话，核心代码只需两行，但是放在OJ上跑，可能AC不了，因为其中存在大量子问题重复计算的情况。我在OJ上试了一下，递归耗时是非递归的10倍以上，当然n越大，倍数也会越大的，《剑指Offer》指出，时间复杂度是以n的指数的方式递增的。所以下面用非递归实现：

function Fibonacci(n)//n是下标{    if(n === 0)return 0;    if(n <= 2)return 1;    var first = 1,second = 1;    var result;    for(var i=3;i<=n;i++){        result = first + second;        first = second;        second = result;    }    return result;}

这段代码一开始我并没有添加第3行，结果死活AC不了，该OJ应该是认为：第0项是0，第1项是1，第2项是前两项之和，即为1，以此类推。。。总之逻辑没变。

跳台阶问题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析

跳上n级台阶的跳法可认为f（n），第一次跳的时候有两种选择，一是第一次只跳1级，那么整个跳法就是剩下的n-1级台阶的跳法，及f（n-1）；二是第一次跳2级，那么整个跳法就是剩下的n-2级台阶的跳法，及f（n-2）。所以整个n级台阶的跳法 f（n）=f（n-1）+f（n-2），这么一看，就成了斐波那契数列了。代码如下：

function jumpFloor(number){    var first = 1,second = 2;    var result;    if(number === 1)return first;    if(number === 2)return second;    for(var i=3;i<=number;i++){        result = first + second;        first = second;        second = result;    }    return result;}

变态跳台阶问题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析

按照上面跳台阶问题的分析可推出，f（n）=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3）+...+f（1）+f（0），其中f（0）表示，第一次直接跳了n级，剩下0级台阶的跳法即为f（0），不难看出，f（0）=1。同理f（1）=1。

而f（n-1）= f（n-2）+f（n-3）+...+f（1）+f（0），所以，f（n）=2f（n-1）。所以代码如下：

function jumpFloorII(number){    // write code here    if(number <= 1)return 1;    return 2 * jumpFloorII(number - 1);}

上面代码虽然虽然是递归，但是不存在子问题重复计算的情况，因此AC该没问题。