浅谈Nim博弈 附hdu 2176 取(m堆)石子游戏 ，hdu 1850 Being a Good Boy in Spring Festival

                                                                          浅谈Nim博弈                         

最近两天学的Nim博弈，一些心得拿出来给大家分享一下，也算是记录一下自己的学习心得方便今后复习。本人水平有限，如有错误或不妥的地方，还请各位大牛多多指教(^_^)

尼姆博弈模型一般是这样的：

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少，取一个，多者不限，最后取光者得胜。给你三堆石头中的石头数：a,b,c，怎么样判断先手胜还是后手胜。

分析：

1.证明：

首先我们先自己模拟两个简单的例子， 三堆石子的数目分别是（0,2,2），我们可以枚举发现无论怎么走，先手都会输，另外一种情况，三堆石子的数目分别是（1,2,3），依然是先手输，因为无论先手怎么走，后手都可以将局势变成（0，n，n）这种局势。

那么我们再将局势推广到（0，n，n）的情况，发现如果先手取两个不为0的堆中的任何一个堆中的任何数量的石子，后手都可以对另外一个堆采取相同的操作，使局势依旧保持在（0，n，n）的状态，一直保持这样，直到最后先手不得不将一个堆中的石子全部取玩，那么后手马上可以将另外一个堆中剩余的石子取光，所以还是先手必胜。

那么，也就是说我们现在知道有三个奇异局势，分别是（0,0,0），（1,2,3），（0，n，n），那这三个局势看起来似乎没有什么联系。

真的没有吗？当然不可能，经过计算之后我们会发现这对三个奇异局势（a，b，c）都有a ^ b ^ c = 0。

那么也就是说这可能是奇异局势的特征咯，到底是不是没关系，我们可以证明一下：

首先定义P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。简单的说，就是P是必败态，N是必胜态

更严谨的定义是：1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移动到P-position的局面是N-position；3.所有移动都导致N-position的局面是P-position。

这里对以上几点定义做出一点解释：第一点，无法进行任何移动的局面当然是必败的；第二点，如果当前是必胜态，那么当然要保证自己走完这一步之后留给对手的是必败态，所以可以移动到P态的是N态；第三点，自己无论现在这一步怎么走，走完这一步之后，留给对手的都是必胜态，这种局势当然是必败态。

那么现在拿出我们上面的假设：任何奇异局势（a，b，c）都有a ^ b ^ c = 0。

要证明这个假设，我们需要证明三个命题

1.根据该假设，所有terminal position都是P-position。

证明：因为terminal position只有一个，就是都是0的情况，那么不管多少个0异或之后结果肯定还是0。

2.根据该假设，当前被判为N-position的局势一定存在某种合法的移动，使得局势转变为P-position。

证明：对于任意一个局势（a1，a2........an）如果a1 ^ a2 ^...... ^ an != 0，那么设k = a1 ^ a2 ^...... ^ an ，从a1到an中一定存在一个数ai，它的二进制表示在k的最高位上为1，不然的话k二进制最高位上的1怎么来的。那么我现在设  s = ai ^ k = a1 ^ a2  ^.......^ a(i-1) ^ a(i+1) ^ .......an，则此时s二进制表示的最高位一定为0。（因为s ^ ai的最高位为1)所以， ai  ^ k < ai成立，所以我们设ai '  = ai  ^ k，则此时a1^a2^...^ai ' ^...^an = ai ' ^ （ai ^ k） = （ai ^ k）^（ai ^ k）= 0。所以存在一个合法的移动使得N-position转变为P-position局势。

3.根据该假设，当前被判断为P-position的局面无法移动到某个P-position。

证明：假设将ai改变成ai '能使得a1^a2^...^ai^...^an = a1^a2^...^ai ' ^...^an = 0，那么ai = ai '，而这种移动是不合法的。所以，当前被判断为P-position的局面无法移动到某个P-position。

那么我们现在就证明了对任意奇异局势（a1，a2，....an）都有a1^a2^...^an = 0的特征，同时，也将尼姆博弈模型从3堆推广到n堆。其实，这就是Bouton定理。

Bouton定理：状态(x1,x2,x3)为必败状态当且仅当x1^x2^x3=0,称为Nim和。

好了，现在证明完了，我们应该考虑如果在Nim博弈中获胜了，换句话说，在双方都采取最优策略的情况下，如何在己方是必胜态的情况下进行操作。

假定我们现在为先手，且局势为必胜局势。也就是a1 ^ a2 ^ ..... ^ an != 0，那么现在我们要将其中一个数ai减小为ai '，使得a1^a2^...^ai ' ^...^an = 0。首先，我们设k =a1^a2^...^ai^...^an，s = ai ^ k，那么问题就转化成了要找到一个 ai ' ，使得s ^ ai ' = 0，即 ai ’ = ai ^ k，再从数量为ai 的那堆中取出数量为ai - (ai ^ k)的数量的石头就可以了。

接下来附上两道例题，恰好解决的就是这个问题

例题一：

Being a Good Boy in Spring Festival

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3974    Accepted Submission(s): 2347

Problem Description

一年在外 父母时刻牵挂
春节回家 你能做几天好孩子吗
寒假里尝试做做下面的事情吧

陪妈妈逛一次菜场
悄悄给爸爸买个小礼物
主动地 强烈地 要求洗一次碗
某一天早起 给爸妈用心地做回早餐

如果愿意 你还可以和爸妈说
咱们玩个小游戏吧 ACM课上学的呢～

下面是一个二人小游戏：桌子上有M堆扑克牌；每堆牌的数量分别为Ni(i=1…M)；两人轮流进行；每走一步可以任意选择一堆并取走其中的任意张牌；桌子上的扑克全部取光，则游戏结束；最后一次取牌的人为胜者。
现在我们不想研究到底先手为胜还是为负，我只想问大家：
——“先手的人如果想赢，第一步有几种选择呢？”

 

Input

输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占2行，首先一行包含一个整数M(1<M<=100)，表示扑克牌的堆数，紧接着一行包含M个整数Ni(1<=Ni<=1000000，i=1…M)，分别表示M堆扑克的数量。M为0则表示输入数据的结束。

 

Output

如果先手的人能赢，请输出他第一步可行的方案数，否则请输出0，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

35 7 90

 

Sample Output

1

 

Author

lcy

 

Source

ACM Short Term Exam_2007/12/13

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int n,i,sum,cnt;    int Nim[105];    while(scanf("%d",&n) && n)    {        cnt=0;        sum=0;        for(i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d",&Nim[i]);            sum^= Nim[i];        }        for(i=0;i<n;i++)        {            if(Nim[i]>(sum^Nim[i]))//如上所述，判断是否存在ai > ai ^ k，如果存在，对该堆进行操作。                cnt++;        }        printf("%d\n",cnt);    }    return 0;}

例题二：

取(m堆)石子游戏

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1493    Accepted Submission(s): 869

Problem Description

m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.

 

Input

输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出.

 

Output

先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output.

 

Sample Input

245 4533 6 955 7 8 9 100

 

Sample Output

NoYes9 5Yes8 19 010 3

 

Author

Zhousc

 

Source

ECJTU 2008 Summer Contest

#include<algorithm>//和上一题几乎一样，只不过要输出具体的操作方案就是了。#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int Nim[200050];int main(){    int cnt, n;    while(scanf("%d", &n) && n)    {        cnt = 0;        for(int i=0; i<n; ++i)        {            scanf("%d", &Nim[i]);            cnt ^= Nim[i];        }        if(cnt == 0)        {            printf("No\n");            continue;        }        printf("Yes\n");        for(int i=0; i<n; ++i)        {            if(Nim[i] >= (Nim[i] ^ cnt))                printf("%d %d\n", Nim[i], Nim[i] ^ cnt);                ///对ai > ai ^ k的堆操作，使留下数量为ai ^ k，此时(ai ^ k) ^ (ai ^ k) = 0，使对手面对必败局势。        }    }    return 0;}