带你重拾线性代数
来源:互联网 发布:可可网络验证破解 编辑:程序博客网 时间:2024/05/02 03:09
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说明:
- 文中所有涉及到的矩阵,若未做特殊说明均为方阵
一、向量的表示方法
1.1 引言
在二维平面中,我们都知道可以用有序实数对来表示一个向量,例如:
但是一个向量为什么可以这样表示呢?它到底有着怎样的含义?
1.2 基
从1.1我们知道,一个向量可以表示成如(4,2)这样的形式。但这是怎么来的呢?如上图所示,我们将向量
因此,我们称
但是,如果我们选择其它不同的基向量,又会是怎么样呢?
二、矩阵与矩阵乘法
先给出结论:矩阵的本质是表示某个线性变换的操作步骤,而矩阵的乘法就是实施这个线性变换。
2.1 矩阵的概念
上一章我们谈到了向量,知道向量其实是一组(线性无关)基的线性组合。而我们把由多个向量拼接在一起的m行n列的矩形表格称之为矩阵,若m=n,则称之为n阶矩(方)阵。
2.2 矩阵及矩阵乘法的本质
矩阵的本质是什么?下面我们通过两个例子来说明。
例1.
我们知道在平面直角坐标系中,我们默认用的基向量分别是
现有向量
则:
矩阵U告诉我们,他的作用是将原有的坐标系
如下图所示:
上面说到将坐标系
总结就是:
例2.
现有向量
注:基向量为单位向量
随便提一句,在PCA中,不就是把
从以上我们可以知道:
(1). 线性变化是操纵空间的一种手段,而这种手段用矩阵来描述;
(2). 你所使用的变换矩阵(U)代表的是变换后的坐标系
(3). 矩阵U既是一种对线性变换的描述,(列向量)也是一组基向量
三、行列式
方阵行列式的绝对值表示原空间经过该变换后空间被压缩的倍数;
秩表示空间被压缩后剩下的维度(列空间);
四、特征向量与特征值
设A是n阶矩阵,
则称
有没有觉得奇怪?一个矩阵乘以一个向量,怎么他就等于一个数乘以这个向量了。想要回答这个问题,我们就得回想矩阵的本质了。从前面我们可以知道,矩阵的本质就是表达了一系列线性变换的信息,比如旋转,压缩等等;并且最后通过矩阵的乘法来实现这一线性变换。
而等式
下面看个例子:
已知
我们先不画图,通过求解出来的信息,我们就能直接得出以下信息:
(1). 坐标系
(2). 这两个向量在通过A线性变换后仅仅只是在长度上发生了变化;
(3). 特征值
(4). 向量
(5). 向量
下面我们通过画图来验证:
其中黑色坐标系为
随便说一句:这也就是在PCA中,要选择前K个最大的特征值所对应的特征向量的原因,因为这样被拉伸的长度更大,样本点才会更离散,方差才会更大。
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