JZOJsenior3479.【NOIP2013模拟联考9】工作安排(work)

problem

Description

众所周知Kelukin是一名宇宙级土豪，他公司的生意自然是相当的好。

现在他手上有n份工作要完成，每一份工作有一个土豪指标Ak。由于这些工作数量太多，Kelukin又懒，所以他无法一个人完成，他需要雇用很多工人来帮忙。可是Kelukin十分小气，经常克扣工资，因此没有多少人愿意帮他。而愿意帮他的那些工人各个都是奇葩，而且他们非常精明，按工作量收费，小于k份的工作量他们是不会去做的，而他们完成一次工作要额外收C元。一个工人最多做一次工作。

Kelukin表示那些工作之间有很多是类似的，完成了第一份第二份能很快扫完，因此他这么规定一个工人的报酬：若工人所做的工作的土豪指标为(T1,T2,T3,T4……,Tm)，则他的报酬为C+(maxTi-minTi)^2，1<=i<=m,m>=k。

作为Kelukin的贴身秘书，你有义务告诉他为了完成这n份工作最少要花多少钱。当然，Kelukin非常的小气，他是不会给你工资的。

Input

第一行三个正整数n、k、C（1≤k≤n≤10^6，0≤C≤10^9），之间用一个空格隔开。

第二行为n个正整数，描述n份工作的土豪指标（0＜Ak≤10^9），之间用一个空格隔开。

Output

一行仅一个整数，表示Kelukin最少需要支付的工资（保证答案不大于10^17）。

Sample Input

2 1 1

2 4

Sample Output

2

【样例说明】

如果分给一个工人做，收费为 1 + (4 – 2) ^2 = 5。

如果分给两个工人作，收费为 1 + 1 = 2。

所以最小收费为2。

Data Constraint

对于50%的测试数据中保证有N≤1000。

对于70%的测试数据中保证有N≤50000。

对于100%的测试数据中保证有N≤1000000。

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analysis

一道斜率DP题目……还很™裸……

50%数据

首先我们会很easy地搞出一个DP方程，设f[i]表示到了第i位的工资最小值，有：

f[i]=mini∈[k,n],j∈[1,i−k+1](f[i],f[j−1]+(a[i]−a[j])2+c)

不要问我怎么推出来的这个都不推您不要学OI了呗
照着这个打，RE&TLE50

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100%数据

请先点开下面的链接

斜率DP入门必看blog：https://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/08/03/2621345.html

看完了吗？
你会发现这篇blog里的方程和上面那个基本一模一样
用我自己简单的话来看一看，这里DP斜率优化的思想吧！

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• 首先这是最原始的DP方程

• f[i]=mini∈[k,n],j∈[1,i−k+1](f[i],f[j−1]+(a[i]−a[j])2+c)

• 假设k<j<i且j决策比k决策优则有

• f[j−1]+(a[i]−a[j])2+c<f[k−1]+(a[i]−a[k])2+c

• 给上面那个不等式移项一下（请一定要手推一下），得到

• (f[j−1]+a[j]2)−(f[k−1]+a[k]2)2a[j]−2a[k]<a[i]
  和2a[j]只与j有关，所以我们用yj和xj来代替，k同理，不等式变为

• yj−ykxj−xk<a[i]
  决策比k决策优，若此不等式成立，就说明j决策确实比k决策优

• 为了更方便地探究，我们先设slope(α,β)=yα−yβxα−xβ

• 现在我们还是设k<j<i，那么最关键的优化就是：

  若slope(i,j)<slope(j,k)，那么j一定不是最优决策点

• 我们假设slope(i,j)<sum[i]，那么i决策比j决策优，排除j决策点

• 如果slope(i,j)>=a[i]，那么j决策此时比i决策要优，但是同时g[j,k]>g[i,j]>a[i]，这说明还有k决策比j决策更优，同样排除j决策点

• 所以斜率优化的核心就是去掉决策肯定更劣的点

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• 如何求解呢？单调队列维护！

• 由于我们是要求斜率的单调性，那么单调队列就一定呈单调递增或递减

• 每次新加入一个决策点时，从队列尾部删除不符合要求的决策点，并把新决策点放在队尾

• 删除：若slope(queue[tail],queue[tail−1])<slope(queue[tail−1],queue[tail−2])则队尾较劣，删除队尾

• 求解i号位时，若slope(queue[head+1],queue[head])<a[i]

大功告成
初始化不要忘记f[k]k∈[1,k)=INF！

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code

#include<stdio.h>#include<cstring>#include<algorithm>#define sqr(x) ((x)*(x))#define MAXN 1000001#define INF 1000000000000000007using namespace std;long long a[MAXN],f[MAXN];int queue[MAXN],head,tail;int n,k,c;double slope(int x,int y) {    return ((f[y-1]+sqr(a[y]))-(f[x-1]+sqr(a[x])))/(2.0*(a[y]-a[x]));}void insert(int x){    while (head<=tail && a[queue[tail]]==a[x])     {        if (f[x-1]<f[queue[tail]-1])tail--;        else return;    }    while (head<tail && slope(queue[tail-1],queue[tail])>slope(queue[tail],x))tail--;    queue[++tail]=x;}int main() {    freopen("work.in","r",stdin);    freopen("work.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d",&n,&k,&c);    for (int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&a[i]);    }    sort(a+1,a+n+1);    for (int i=1;i<k;i++)f[i]=INF;    head=1,tail=0;    for (int i=k;i<=n;i++)     {        int x=i-k+1;        insert(x);        while (head<tail && slope(queue[head],queue[(head+1)])<a[i])head++;        f[i]=f[queue[head]-1]+sqr(a[i]-a[queue[head]])+c;    }    printf("%lld\n",f[n]);    return 0;}