概率与数理统计学习总结四---连续型随机变量及其概率密度

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连续型随机变量及其概率密度

对于随机变量X的分布函数F(x)存在非负可积函数f(x),使得对于任意x有
     
则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度  
     概率密度f(x)满足的四条性质

均匀分布

若连续随机变量X具有概率密度

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布记为X~U(a, b)

指数分布

若连续随机变量X的概率密度为

其中θ>0为常数,则称X服从参数为θ的指数分布
求指数分布的分布函数F(x)

正态分布

若连续型随机变量X的概率密度为

其中 为常数,则称X服从参数为
的正态分布或高斯分布,记作X~N(μ,σ2)

当μ=0, σ=1时称随机变量X服从标准正态分布

若X~N(μ,σ2),则Z=(X-μ)/σ~N(0,1)

正态分布密度函数曲线关于 x = μ 对称

 x = μ 时取到最大值

扩充定理:

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布

随机变量的数字特征—期望

数学期望：数学期望简称期望,又称均值

离散型变量的期望

连续型变量的期望

特例1:设X~π(λ), E(X)=λ

特例2:设X~U(a, b), E(X)=(a+b)/2

特例3:设X~N(μ,σ2), E(X)=μ

数学期望的性质

设C是常数, 则有E(C) = C
设X是一个随机变量,C是常数,则有E(CX) = CE(X)
设X,Y是两个随机变量,则E(X+Y) = E(X)+E(Y)
设X,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY) = E(X)E(Y)

随机变量的数字特征—方差

方差: 设X是一个随机变量,若存在,则称    为X的方差，称为标准差或均方差,编程时常用std表示

特例1:设X~π(λ), D(X)=λ

特例2:设X~U(a, b), D(X)=(b-a)2/12

特例3:设X~N(μ,σ2), D(X)=σ2

方差常用计算公式

方差是用于刻画数据的离散程度

方差的性质:

C是常数,则D(C) = 0
设X是随机变量,C是常数则有D(CX) = C2D(X) D(X+C) = D(X)
设X,Y是两个随机变量,则有
D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))},对于X,Y相互独立的情况D(X+Y) = D(X)+D(Y)
D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X)

概率不等式

切比雪夫不等式

定理: 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于任意正数ε,下面不等式成立

切比雪夫不等式等价形式

切比雪夫不等式给出了随机变量的分布未知,而只知道E(X)和D(X)的情况下估计概率P{|X-E(X)|<ε}的界限

切比雪夫不等式刻画的是比较”松散”的界

协方差及相关系数

定义: 称为随机变量X与Y的协方差,记作Cov(X,Y)

由公式可知协方差可以为负，但自协方差(即方差)非负

协方差及相关系数

随机变量X与Y的相关系数----线性相关性

相关系数可以为负

X与Y不相关

y=kx+b 

k>0 Cov(x,y) = 1

k<0 Cov(x,y) = -1

XY相互独立则XY必定不相关,反之不一定成立, 独立判断标准是P(XY)=P(X)P(Y)而非E(XY) = E(X)E(Y)

矩、协方差矩阵

设X和Y是随机变量,若 存在,称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩  
若 存在,称它为X的k阶中心矩
若 存在,称它为X和Y的k+l阶混合矩
若存在,称它为X和Y的k+l阶混合中心矩

设n维随机变量 的二阶混合中心矩

都存在则称矩阵为协方差矩阵（对称阵）