概率论与数理统计学习笔记二：随机变量及其概率分布

1. 一维随机变量

    1）随机变量的概念

        a）随机变量的定义：“其值随机会而定”的变量，是试验结果的函数

        b）随机变量的反面为确定性变量，其取值遵循某种严格的规律的变量；

        c）随机事件与随机变量的关系：前者从静态观点来研究随机现象，后者从动态观点

        d）随机变量的分类（按其可能取的值的全体的性质）：离散型随机变量（只能取有限个值）和连续性随机变量（取值充满某一个区间，数学上抽象的情况）

        e）随机变量的研究：取值、取各种值的概率

    2）离散型随机变量的分布及其例子

        a）离散型随机变量的概率函数：设X为离散型随机变量，其全部可能值为{a1, a2,...}，则 Pi = P(X = ai),i=1,2,...成为随机变量的概率函数

                                                                   pi>=0,p1+p2+... = 1

        b）随机变量的分布函数：设X为一随机变量，则函数P（X<=x） = F(x), X在正负无穷区间取值，称为X的分布函数

        c）离散型随机变量的概率函数和分布函数的关系：等价，知道其一即可知道另一个

        d）随机变量的分布函数的性质：单调非降；x趋于正无穷，分布函数趋于1，x趋于负无穷，分布函数趋于0

        e）二项分布：（a）概率分布的公式及推导；（b）服从该分布的条件：各次试验的条件是稳定的；各次试验的独立性

        f）波瓦松分布：（a）概率分布的公式及推导；（b）出现场合：表示在一定时间和空间内出现的事件个数

        g）二项分布和波瓦松分布的关系：波瓦松分布可作为二项分布的极限而得到，若X服从B(n,p)，其中n很大，p很小而np不太大时，则X的分布接近于参数为np的波瓦松分布

        h）超几何分布：

        i）负二项分布

    3）连续性随机变量的分布及其例子

        a）连续性随机变量的概率密度函数：设连续型随机变量有概率分布函数，则概率分布函数的导数成为概率密度函数

        b）连续型随机变量的概率密度函数的三条基本性质：>=0；在随机变量取值区间上的积分为1；微积分基本定理

        c）正态分布

        d）指数分布

        e）威布尔分布

         f）均匀分布

2. 多维随机变量（随机向量）

    1）离散型随机向量的分布

        a）离散型随机向量的定义：每一个分量都是一维离散型随机变量

        b）离散型随机向量的概率函数（概率分布）：定义；满足的条件（2条）

        c）多项分布M(N; p1,p2,...pn)：

    2）连续型随机向量的分布

        a）连续型随机向量的定义：

        b）连续型随机向量的（概率）密度函数：定义；必须满足条件（2条）

        c）均匀分布

        d）二维正态分布

        e）注意项：（a）有密度函数的随机变量；（b）各分量为一维连续型随机变量的随机向量并不一定是连续型随机变量；（c）可用概率分布函数去描述多维随机向量的概率分布

    3）边缘分布

        a）边缘分布完全由原分布确定

        b）离散型随机向量的边缘分布的计算：多项分布的边缘分布密度

        c）连续型随机向量的边缘分布：二维正态分布的边缘分布密度

        d）已知某随机向量的分布可推导其任一分量的（边缘）分布；已知某随机向量的各分量的分布，也推导不出该随机向量的分布。因为边缘分布只考虑随机向量的某一分量的情况，未涉及他们之间的关系；而该关系包含的该随机向量的分布中

        e）边缘分布也可以不只是单个的

3. 条件概率分布与随机变量的独立性

    1）条件概率分布的概念

        a）一般形式：设有两个随机变量（向量）X，Y，在给定了Y取某个或某些值的条件下，去求X的条件分布

    2）离散型随机变量的条件概率分布

        a）条件概率公式推导

        b）多项分布的条件分布

    3）连续型随机变量的条件分布

        a）多件概率公式推导

        b）二维正态分布

    4）随机变量的独立性

        a）随机变量相互独立定义：n维随机向量(X1,...Xn))的联合概率密度函数等于该随机向量各分量的边缘密度函数之积，则称随机变量X1,...,Xn相互独立或简称独立

        b） 随机变量独立性定义的另一角度：若X1,...Xn独立，则各变量的概率如何，毫不受其他变量的影响

        c）随机变量独立性的两个有用结论

        d）离散型随机变量的独立性定义及定理

4. 随机变量的函数的概率分布

    1）离散型分布的情况：概率思维；（多项分布、二项分布、波瓦松分布）

    2）连续型分布的情况：一般讨论：

        a）单变量的情况：

        b）多变量的情况：

    3）随机变量和的密度函数Y=X1+X2

        a）一种方法是根据密度函数的定义直接求解：该方法存在积分号下求导的理论限制；4种形式

        b）一种方法是配上另一函数Z，形成(x1,x2)到(Y1,Y2)的一一对应变换，先求(Y1,Y2)联合概率密度f，再求f对于Y1的边缘概率密度

        c）正态分布的再生性

        d）自由度为n的卡方分布：递推公式；概率密度；输入为1/2和1时的函数值

        e）若X1，...Xn相互独立，均服从标准正态分布，则Y=X1*X1+...+Xn*Xn服从自由度为n的卡方分布

        f）卡方分布的性质（2条）

    4）随机变量商的密度函数

        a）随机变量商的密度函数有两种求解方法

        b）自由度n的t分布

        c）自由度m，n的F分布

        d）统计上的三大分布：卡方分布、t分布、F分布；应用性质（3条）