CS 400 Restricted Permutation 排列,DP计数

题意:给出序列a,a[i]为1:数字i出现在数字i+1之前 ,a[i]为0:数字i出现在数字i+1之后
n<=2e3 问有多少个长度为n的排列满足序列a的限制?

假设y=x+1出现在x之后 已知前x=6的数的某个排列为 00X000
现在若y在第4个位置上 则 ...Y... 则X放入的位置可以为1~3  例如X放入位置3 就对应dp[x][3]的排列个数.(原本在j的位置向后偏移)

设dp[i][j]:[1..i]排列满足限制 并且数字i在第j个位置.
若i出现在i-1之后:dp[i][j]= ∑ dp[i-1][k] (k<j)
若i出现在i-1之前:dp[i][j]= ∑ dp[i-1][k] (j<=k<=i-1).
用前缀和优化到O(N^2)即可.

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N=2e3+5,mod=1e9+7;int a[N],n;ll dp[N][N],pre[N][N];void work(){dp[1][1]=pre[1][1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){if(a[i])//i is after i-1.dp[i][j]=pre[i-1][j-1];elsedp[i][j]=(pre[i-1][i-1]-pre[i-1][j-1]+mod)%mod;}for(int j=1;j<=i;j++)pre[i][j]=(pre[i][j-1]+dp[i][j])%mod;}cout<<pre[n][n]<<endl;}int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++)cin>>a[i];work();return 0;}

总结:有关排列计数的 试着考虑插前i个元素按条件排好后,第i+1个元素插入时生成的方案数.