约数个数定理

约数个数定理

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对于一个大于1正整数n可以分解质因数：

 

则n的正约数的个数就是

  

。

其中a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3，…pk的指数。

定理简证

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首先同上，n可以分解质因数：n=p1^a1×p2^a2×p3^a3*…*pk^ak,

由约数定义可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1 ，共（a1+1）个;同理p2^a2的约数有（a2+1）个......pk^ak的约数有（ak+1）个。

故根据乘法原理：n的约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)。

例题

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例题：正整数378000共有多少个正约数？

解：将378000分解质因数378000=2^4×3^3×5^3×7^1

由约数个数定理可知378000共有正约数(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160个。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<iostream>#include<math.h>#include<queue>using namespace std;long a[105];long b[105];long c[105];int cnt;void  getyue(long n){    cnt=0;    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)    {        if(n%i==0)        {            a[cnt++]=i;            n=n/i;            i--;        }    }    a[cnt]=n;}int getresult(){    int sum=0;    for(int i=0;i<=cnt;i++)    {        if(a[i]==a[i+1])        {            b[sum]++;        }        else{           b[sum]++;           sum++;        }    }    return sum;}int getac(){    int t=getresult();    int sum=1;    for(int i=0;i<t;i++)    {        sum=sum*(b[i]+1);    }    return sum;}int main(){    int t;    cin>>t;        while(t--){        memset(a,0,sizeof(a));        memset(b,0,sizeof(b));        long n;        cin>>n;        getyue(n);        int ac=getac();        cout<<ac<<endl;        cnt=0;        }    return 0;}