洛谷 P1939 【模板】矩阵加速（数列）：优化递推式的方法——矩阵快速幂

在大多数情况下，O(n)的效率都是值得骄傲的，然而，有时候并不是，比如如何在一秒钟内算出一个递推式的第1e9项，很明显O(n)不行了。

然而常数级又不太现实，除非你的数学非常好，这题又比较简单，你推了一个特征方程的通项公式……

所以考虑log的做法：矩阵快速幂

如果你还不知道矩阵快速幂是什么，请走这边：传送门

对于这道题，嗯，模板嘛，已经告诉你了式子，就只需要考虑矩阵了，对于整个过程，我们只需要两个矩阵，初始矩阵和转置矩阵：

先看这个特征方程F[i] = F[i - 1] + F[i - 3]，那么就有一个矩阵如下

我们的目标矩阵就是

那么，针对这个矩阵我们如何转置呢？

先看目标矩阵第一个：F[i]

F[i] = F[i - 1] + F[i - 3]

那么，由矩阵乘法，转置矩阵第一行，似乎就定了：1 0 1

同样的，二三行就是1 0 0 和 0 1 0

整个矩阵如下：

代码：

#include <bits/stdc++.h>const int mod = 1000000007;int n;inline int read(){    int ch;int x = 0;int f = 1;ch=getchar();    while (ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))        ch=getchar();    ch=='-'?f=-1:x=ch-'0',ch=getchar();     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}     return x*f;}struct Mat {    long long mat[3][3];};Mat operator * (Mat a, Mat b) {    Mat c;    memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));    for(int i = 0; i < 3; i++) {        for(int k = 0; k < 3; k++) {            for(int j = 0; j < 3; j++) {                c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] % mod) * (b.mat[k][j] % mod) % mod;                c.mat[i][j] %= mod;            }        }    }    return c;}Mat operator ^ (Mat a, long long k)  {    Mat c;    for(int i = 0; i < 3; i++)        for(int j = 0; j < 3; j++) c.mat[i][j] = (i == j);    while(k) {        if(k & 1) c = c * a;        a = a * a;        k >>= 1;    }    return c;}Mat init;Mat fi;int t;signed main(){    scanf("%d", &t);    while(t--)    {        memset(init.mat, 0, sizeof(init.mat));        memset(fi.mat, 0, sizeof(fi.mat));        scanf("%d", &n);        init.mat[0][0] = 1;        init.mat[0][2] = 1;        init.mat[1][0] = 1;        init.mat[2][1] = 1;        fi.mat[0][0] = 1;        fi.mat[1][0] = 1;        fi.mat[2][0] = 1;        if(n <= 3) printf("%d\n", 1);        else{            init = init ^ (n - 3);            fi = init * fi;            printf("%d\n", fi.mat[0][0]);        }    }    return 0;}