四元数姿态解算

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    笔者最近在做四轴，涉及到地磁计的融合算法，网上大多数是x-IMU的融合代码，但是这段代码对于地磁计的融合说明没有做过多的解释，网上没有相关讨论，仅在阿莫论坛看到一篇相关的代码解释，里面有关于地磁计融合部分的解说，个人觉得说的不是很清楚，虽然是正确的，我这里再补充啰嗦一下。

    首先给出x-IMU关于陀螺仪、加速度计、地磁计的融合代码：

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1. void MahonyAHRSupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az, float mx, float my, float mz) {  
2.     float recipNorm;  
3.     float q0q0, q0q1, q0q2, q0q3, q1q1, q1q2, q1q3, q2q2, q2q3, q3q3;    
4.     float hx, hy, bx, bz;  
5.     float halfvx, halfvy, halfvz, halfwx, halfwy, halfwz;  
6.     float halfex, halfey, halfez;  
7.     float qa, qb, qc;  
8.   
9.     // Use IMU algorithm if magnetometer measurement invalid (avoids NaN in magnetometer normalisation)  
10.     if((mx == 0.0f) && (my == 0.0f) && (mz == 0.0f)) {  
11.         MahonyAHRSupdateIMU(gx, gy, gz, ax, ay, az);  
12.         return;  
13.     }  
14.   
15.     // Compute feedback only if accelerometer measurement valid (avoids NaN in accelerometer normalisation)  
16.     if(!((ax == 0.0f) && (ay == 0.0f) && (az == 0.0f))) {  
17.   
18.         // Normalise accelerometer measurement  
19.         recipNorm = invSqrt(ax * ax + ay * ay + az * az);  
20.         ax *= recipNorm;  
21.         ay *= recipNorm;  
22.         az *= recipNorm;       
23.   
24.         // Normalise magnetometer measurement  
25.         recipNorm = invSqrt(mx * mx + my * my + mz * mz);  
26.         mx *= recipNorm;  
27.         my *= recipNorm;  
28.         mz *= recipNorm;     
29.   
30.         // Auxiliary variables to avoid repeated arithmetic  
31.         q0q0 = q0 * q0;  
32.         q0q1 = q0 * q1;  
33.         q0q2 = q0 * q2;  
34.         q0q3 = q0 * q3;  
35.         q1q1 = q1 * q1;  
36.         q1q2 = q1 * q2;  
37.         q1q3 = q1 * q3;  
38.         q2q2 = q2 * q2;  
39.         q2q3 = q2 * q3;  
40.         q3q3 = q3 * q3;     
41.   
42.         // Reference direction of Earth’s magnetic field  
43.         hx = 2.0f * (mx * (0.5f - q2q2 - q3q3) + my * (q1q2 - q0q3) + mz * (q1q3 + q0q2));  
44.         hy = 2.0f * (mx * (q1q2 + q0q3) + my * (0.5f - q1q1 - q3q3) + mz * (q2q3 - q0q1));  
45.         bx = sqrt(hx * hx + hy * hy);  
46.         bz = 2.0f * (mx * (q1q3 - q0q2) + my * (q2q3 + q0q1) + mz * (0.5f - q1q1 - q2q2));  
47.   
48.         // Estimated direction of gravity and magnetic field  
49.         halfvx = q1q3 - q0q2;  
50.         halfvy = q0q1 + q2q3;  
51.         halfvz = q0q0 - 0.5f + q3q3;  
52.         halfwx = bx * (0.5f - q2q2 - q3q3) + bz * (q1q3 - q0q2);  
53.         halfwy = bx * (q1q2 - q0q3) + bz * (q0q1 + q2q3);  
54.         halfwz = bx * (q0q2 + q1q3) + bz * (0.5f - q1q1 - q2q2);    
55.       
56.         // Error is sum of cross product between estimated direction and measured direction of field vectors  
57.         halfex = (ay * halfvz - az * halfvy) + (my * halfwz - mz * halfwy);  
58.         halfey = (az * halfvx - ax * halfvz) + (mz * halfwx - mx * halfwz);  
59.         halfez = (ax * halfvy - ay * halfvx) + (mx * halfwy - my * halfwx);  
60.   
61.         // Compute and apply integral feedback if enabled  
62.         if(twoKi > 0.0f) {  
63.             integralFBx += twoKi * halfex * (1.0f / sampleFreq);    // integral error scaled by Ki  
64.             integralFBy += twoKi * halfey * (1.0f / sampleFreq);  
65.             integralFBz += twoKi * halfez * (1.0f / sampleFreq);  
66.             gx += integralFBx;  // apply integral feedback  
67.             gy += integralFBy;  
68.             gz += integralFBz;  
69.         }  
70.         else {  
71.             integralFBx = 0.0f; // prevent integral windup  
72.             integralFBy = 0.0f;  
73.             integralFBz = 0.0f;  
74.         }  
75.   
76.         // Apply proportional feedback  
77.         gx += twoKp * halfex;  
78.         gy += twoKp * halfey;  
79.         gz += twoKp * halfez;  
80.     }  
81.       
82.     // Integrate rate of change of quaternion  
83.     gx *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));     // pre-multiply common factors  
84.     gy *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));  
85.     gz *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));  
86.     qa = q0;  
87.     qb = q1;  
88.     qc = q2;  
89.     q0 += (-qb * gx - qc * gy - q3 * gz);  
90.     q1 += (qa * gx + qc * gz - q3 * gy);  
91.     q2 += (qa * gy - qb * gz + q3 * gx);  
92.     q3 += (qa * gz + qb * gy - qc * gx);   
93.       
94.     // Normalise quaternion  
95.     recipNorm = invSqrt(q0 * q0 + q1 * q1 + q2 * q2 + q3 * q3);  
96.     q0 *= recipNorm;  
97.     q1 *= recipNorm;  
98.     q2 *= recipNorm;  
99.     q3 *= recipNorm;  
100. }  

void MahonyAHRSupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az, float mx, float my, float mz) {    float recipNorm;    float q0q0, q0q1, q0q2, q0q3, q1q1, q1q2, q1q3, q2q2, q2q3, q3q3;      float hx, hy, bx, bz;    float halfvx, halfvy, halfvz, halfwx, halfwy, halfwz;    float halfex, halfey, halfez;    float qa, qb, qc;    // Use IMU algorithm if magnetometer measurement invalid (avoids NaN in magnetometer normalisation)    if((mx == 0.0f) && (my == 0.0f) && (mz == 0.0f)) {        MahonyAHRSupdateIMU(gx, gy, gz, ax, ay, az);        return;    }    // Compute feedback only if accelerometer measurement valid (avoids NaN in accelerometer normalisation)    if(!((ax == 0.0f) && (ay == 0.0f) && (az == 0.0f))) {        // Normalise accelerometer measurement        recipNorm = invSqrt(ax * ax + ay * ay + az * az);        ax *= recipNorm;        ay *= recipNorm;        az *= recipNorm;             // Normalise magnetometer measurement        recipNorm = invSqrt(mx * mx + my * my + mz * mz);        mx *= recipNorm;        my *= recipNorm;        mz *= recipNorm;           // Auxiliary variables to avoid repeated arithmetic        q0q0 = q0 * q0;        q0q1 = q0 * q1;        q0q2 = q0 * q2;        q0q3 = q0 * q3;        q1q1 = q1 * q1;        q1q2 = q1 * q2;        q1q3 = q1 * q3;        q2q2 = q2 * q2;        q2q3 = q2 * q3;        q3q3 = q3 * q3;           // Reference direction of Earth's magnetic field        hx = 2.0f * (mx * (0.5f - q2q2 - q3q3) + my * (q1q2 - q0q3) + mz * (q1q3 + q0q2));        hy = 2.0f * (mx * (q1q2 + q0q3) + my * (0.5f - q1q1 - q3q3) + mz * (q2q3 - q0q1));        bx = sqrt(hx * hx + hy * hy);        bz = 2.0f * (mx * (q1q3 - q0q2) + my * (q2q3 + q0q1) + mz * (0.5f - q1q1 - q2q2));        // Estimated direction of gravity and magnetic field        halfvx = q1q3 - q0q2;        halfvy = q0q1 + q2q3;        halfvz = q0q0 - 0.5f + q3q3;        halfwx = bx * (0.5f - q2q2 - q3q3) + bz * (q1q3 - q0q2);        halfwy = bx * (q1q2 - q0q3) + bz * (q0q1 + q2q3);        halfwz = bx * (q0q2 + q1q3) + bz * (0.5f - q1q1 - q2q2);          // Error is sum of cross product between estimated direction and measured direction of field vectors        halfex = (ay * halfvz - az * halfvy) + (my * halfwz - mz * halfwy);        halfey = (az * halfvx - ax * halfvz) + (mz * halfwx - mx * halfwz);        halfez = (ax * halfvy - ay * halfvx) + (mx * halfwy - my * halfwx);        // Compute and apply integral feedback if enabled        if(twoKi > 0.0f) {            integralFBx += twoKi * halfex * (1.0f / sampleFreq);    // integral error scaled by Ki            integralFBy += twoKi * halfey * (1.0f / sampleFreq);            integralFBz += twoKi * halfez * (1.0f / sampleFreq);            gx += integralFBx;  // apply integral feedback            gy += integralFBy;            gz += integralFBz;        }        else {            integralFBx = 0.0f; // prevent integral windup            integralFBy = 0.0f;            integralFBz = 0.0f;        }        // Apply proportional feedback        gx += twoKp * halfex;        gy += twoKp * halfey;        gz += twoKp * halfez;    }    // Integrate rate of change of quaternion    gx *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));     // pre-multiply common factors    gy *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));    gz *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));    qa = q0;    qb = q1;    qc = q2;    q0 += (-qb * gx - qc * gy - q3 * gz);    q1 += (qa * gx + qc * gz - q3 * gy);    q2 += (qa * gy - qb * gz + q3 * gx);    q3 += (qa * gz + qb * gy - qc * gx);     // Normalise quaternion    recipNorm = invSqrt(q0 * q0 + q1 * q1 + q2 * q2 + q3 * q3);    q0 *= recipNorm;    q1 *= recipNorm;    q2 *= recipNorm;    q3 *= recipNorm;}

    相信有很多人已经理解了加速度计补偿陀螺仪漂移的原理，这部分代码在x-IMU官网上已经给出，大家可以自行下载(http://www.x-io.co.uk/open-source-imu-and-ahrs-algorithms/)，有能力的可以自行查看Sebastian O.H. Madgwick在2010年4月发表的一篇论文（An efficient orientation filter for inertial and inertial/magneticsensor arrays），可以发现x-IMU官网上的融合代码就是基于此篇论文。

    花了一天时间研究地磁融合代码，总算弄明白了其地磁融合的原理。为了让大家理解Madgwick对地磁量的处理方式，我先从加速度计补偿开始说起。

    首先，东北天坐标系我们称之为n系（地理坐标系，参考坐标系），载体坐标系我们称之为b系，就是我们飞行器的坐标系。对于四元数法的姿态解算，我们求的就是四元数的值；方向余弦矩阵（用于表示n系和b系的相对关系）中的元素本来应该是三角函数，这里由于我们四元数法，所以矩阵中的元素就成了四元数。所以我们的任务就是求解由四元数构成的方向余弦矩阵nCb（nCb表示从b系到n的转换矩阵，同理，bCn表示从n系到b的转换矩阵，他们的关系是转置）。

    显然，上述矩阵是有误差存在的。对于一个确定的向量n，用不同的坐标系表示时，他们所表示的大小和方向一定是相同的。但是由于这两个坐标系的转换矩阵存在误差，那么当一个向量经过这么一个有误差存在的旋转矩阵变换后，在另一个坐标系中肯定和理论值是有偏差的，我们通过这个偏差来修正这个旋转矩阵。我们刚才说了，这个旋转矩阵的元素是四元数，这就是说我们修正的就是四元数，于是乎我们的姿态就这样被修正了，这才是姿态解算的原理。

    我这里再重复一遍，因为这是原理部分。我们的姿态解算求的是四元数，我们是通过修正旋转矩阵中的四元数来达到姿态解算的目的，而不要以为通过加速度计和地磁计来修正姿态，加速度计和地磁计只是测量工具和载体，通过这两个器件表征旋转矩阵的误差存在，然后通过算法修正误差，修正四元数，修正姿态。

    在n系中，加速度计输出为，经过bCn转换之后到b中的值为；在b系中，加速度计的测量值为，现在和均表示在b系中的竖直向下的向量，由此，我们来做向量积，得到误差，利用这个误差来修正bCn矩阵，于是乎，我们的四元数就在这样一个过程中被修正了。（实际上这种修正方法只把b系和n系的XOY平面重合起来，对于z轴旋转的偏航，加速度计无可奈何，稍后给详细讲解）但是，由于加速度计无法感知z轴上的旋转运动，所以还需要用地磁计来进一步补偿。

    我们知道加速度计在静止时测量的是重力加速度，是有大小和方向的；同理，地磁计同样测量的是地球磁场的大小和方向，只不过这个方向不再是竖直向下，而是与x轴（或者y轴）呈一个角度，与z轴呈一个角度。记作，这里我们让x轴对准北边，所以by=0，即。倘若我们知道bx和bz的精确值，那么我们就可以采用和加速度计一样的修正方法来修正。只不过在加速度计中，我们在n系中的参考向量是，变成了地磁计的。如果我们知道bx和bz的精确值，那么我们就可以摆脱掉加速度计的补偿，直接用地磁计和陀螺仪进行姿态解算，但是你看过谁只有陀螺仪和地磁计进行姿态解算吗？没有，因为没人会去测量当地的地磁场相对于东北天坐标的夹角，也就是bx和bz。那么现在怎么办？

—–

    前面已经讲了，我们的姿态解算就是求解旋转矩阵，这个矩阵的作用就是将b系和n正确的转化直到重合。

    现在我们假设nCb*旋转矩阵是经过加速度计校正后的矩阵，当某个确定的向量（b系中）经过这个矩阵旋转之后（到n系），这两个坐标系在XOY平面上重合，只是在z轴旋转上会存在一个偏航角的误差。下图表示的是经过nCb*旋转之后的b系和n系的相对关系。可以明显发现加速度计可以把b系通过四元数法从任意角度拉到与n系水平的位置上，这时，只剩下一个偏航角误差。这也是为什么加速度计误差修正偏航的原因。

    到这里，就好说了。现在我们反过来从b系推往n系：设地磁计在b系中的输出为，经过nCb*旋转之后得到（n系）。在这个XOY平面上（n系），的投影为bx2,的投影为hx2+hy2。显然，地磁计在XOY平面上（n系）的向量的大小必定相同，所以有bx2= hx2+hy2。而对于bz的处理，我们不做变动，令bz=hz即可。经过这样处理之后的，经过bCn*旋转回转到b系中，得到，这个值再和b系中的地磁计输出做向量积求误差，再次修正bCn*（或者nCb*），得到bCn**（或者nCb**）。这样就完成了一次地磁计的补偿。

    将加速度计没能做到的z轴上的旋转修正，通过地磁计在XOY平面上的地磁力相同原理，得到了修正。于是乎，pitch和roll通过加速度计修正，然后在这个基础之上（该地磁计补偿方法必须依靠加速度计修正提供一致的XOY平面，才会有bx2= hx2+hy2等式成立），yaw通过地磁计来补偿，最终得到了没有偏差的实时姿态（也就是由四元数组成的旋转矩阵）。