四元数姿态解算基础及数学模型

姿态的表示方法

载体姿态有多种表示方法，常见的三种：欧拉角，姿态矩阵，四元数

欧拉角的物理意义比较直观，即航向角，俯仰角，横滚角，分别是导航系到载体系的三个旋转角度

姿态矩阵可以由欧拉角直接计算得到，即三个角度对应的转换矩阵相乘（注意顺序，导航系到载体系是按照航向角，俯仰角，横滚角的顺序变换的，所以导航系到载体系变换时，三个矩阵相乘的顺序，应该是横滚*俯仰*航向*导航系坐标矢量），因此结果较之欧拉角稍微抽象一点点

四元数则是一个说来话长的姿态表示方法，直接从四元数“很难”看出载体姿态（这个姿态是对人的想象来说的姿态，因为四元数和欧拉角本无本质区别，只是一种表示方法），那么他的物理意义是什么呢？

四元数表示姿态的物理意义

四元数表示姿态时有多个写法，如下：

欧拉角表示姿态变换时，表征的是分别绕着i,j,k三个坐标轴的三次旋转。根据欧拉定理，这三次旋转可以等效成绕着某轴一次旋转而成。这个某轴就是公式中的u=(u1,u2,u3),旋转角度就是公式中的θ。

数学中四元数通常写为

那么用于姿态表示时q0=cos(θ/2),qi=ui*sin(θ/2),i=1,2,3

使用四元数进行载体姿态更新方程

四元数的更新可通过上式完成。因此只要知道初始四元数（载体的初始姿态）和四元数的导数就可以完成任意时刻四元数的解算

四元数求导

结果中的角速度为导航系到机体系在导航系下的旋转角速度矢量，但是我们通过陀螺仪测得的是载体系下的角速度。不过通过下边的变换：

我们得到了四元数导数和载体系角速度的数学关系，展开上式：

四元数初始值确定

四元数初始值的确实可以看做是一个初始对准的过程。

而上述模型仅仅是理想状态下的数学模型，实际角速度中必然包含零偏等误差，更新过程中又不可避免的有飘漂移发生。所以仅适用上式是无法给出可以使用的姿态的。

实际使用中常常用kalman滤波或者补偿滤波的方法来“校正”这些误差。因此初始值可以不必那么精确。给出一个概略初始值即可。

例如可以通过加速度z轴方向和磁罗盘的输出向量，来完成对准。两者从物理概念上实际上分别完成了调平和指北的任务。