BZOJ 3811 玛里苟斯（线性基）

Description

魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心，于是他想了一道数学题。

S是一个可重集合，S={a1,a2,…,an}。

等概率随机取S的一个子集A={ai1,…,aim}。

计算出A中所有元素异或 x, 求xk的期望。

Input

第一行两个正整数n,k。

以下n行每行一个整数，表示ai。

1≤n≤100000，1≤k≤5，ai≥0。最终答案小于263 。k=1,2,3,4,5 各自占用20% 的数据

Output

如果结果是整数，直接输出。如果结果是小数（显然这个小数是有限的），输出精确值（末尾不加多余的0）。

Sample Input

4 2

0

1

2

3

Sample Output

3.5

Solution

k=1时，考虑每一位对答案的影响，对于第i位，如果这n个数中存在一些数在第i位是1，由于从一些数中选出偶数个数和选出奇数个数概率相等，故有0.5的概率在第i位是1，否则对答案的贡献为0，故只要把这n个数或起来除2即可

k=2时，考虑异或和二进制下平方的表示，设该异或和二进制表示为b1b2...bm，那么对答案的贡献为∑i,jbibj2i+j，考虑bi=bj=1的概率，只看这n个数的第i位和第j位，(0,0)不用考虑，只用考虑(1,0),(0,1),(1,1)这三种情况，设这三种分别拿a,b,c个，那么为了得到(1,1)需满足a+c,b+c均为奇数，若c为奇数，那么a,b都是偶数，若c为偶数，那么a,b都是奇数，设这n个数中这两位是(1,0),(0,1),(1,1)这三种情况的分别由A,B,C个，那么如果A=B=0，那么要得到(1,1)只能拿奇数个(1,1)，概率是0.5 ；如果A>0,B=0(A=0,B>0同理)，拿奇数个(1,1)和偶数个(1,0)概率是0.25； 如果A,B>0，则拿奇数个(1,1)和偶数个(1,0)和偶数个(0,1)的概率是0.125，拿奇数个(1,1)和偶数个(1,0)和偶数个(0,1)的概率是0.125，加起来就是0.25，故只要存在(1,0)或(0,1)概率就是0.25，否则概率是0.5，故只需枚举i,j考虑着两位对答案的贡献即可

k≥3时，由于答案不超过263，故线性基维数m不会超过21个，直接求出线性基枚举子集即可求和再除以2m即可， 但是运算过程中答案可能会超过263，可以把数a表示成a=⌊a2m⌋2m+a%2m，拿除数和余数去运算

Code

#include<cstdio>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;const int maxn=100005;int n,k,base[30];ll a[maxn];int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);    if(k==1)    {        ull ans=0,temp;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%llu",&temp);            ans|=temp;        }        printf("%llu%s\n",ans>>1,ans&1?".5\n":"\n");    }    else if(k==2)    {        ll s=0;        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),s|=a[i];        ll ans=0;        int res=0;        for(int i=0;i<32;i++)            for(int j=0;j<32;j++)            {                if(!(s>>i&1)||!(s>>j&1))continue;                int f=0;                //f表示是否存在(0,1)或者(1,0)                 for(int k=1;k<=n;k++)                    if((a[k]>>i&1)!=(a[k]>>j&1))                    {                        f=1;                        break;                    }                if(i+j-1-f<0)res++;                else ans+=(1ll<<(i+j-1-f));             }        ans+=res>>1;        printf("%lld%s",ans,res&1?".5\n":"\n");    }    else    {        for(int i=1;i<=n;i++)        {            int temp;            scanf("%d",&temp);            for(int j=22;j>=0;j--)                if(temp>>j&1)                {                    if(!base[j])                    {                        base[j]=temp;                        break;                    }                    else temp^=base[j];                }        }        int m=0;        for(int i=0;i<=22;i++)            if(base[i])base[m++]=base[i];        int M=1<<m;        ll ans=0,res=0;        for(int i=1;i<M;i++)        {            int temp=0;            for(int j=0;j<m;j++)                if((i>>j)&1)temp^=base[j];            ll x=0,y=1;            for(int j=0;j<k;j++)            {                x*=temp,y*=temp;                x+=y>>m,y&=(M-1);            }            ans+=x,res+=y;            ans+=res>>m,res&=(M-1);        }        if(res)printf("%lld.5\n",ans);        else printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}