bzoj 3811: 玛里苟斯（期望+线性基）

3811: 玛里苟斯

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Description

魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心，于是他想了一道数学题。

S 是一个可重集合，S={a1,a2,…,an}。

等概率随机取 S 的一个子集 A={ai1,…,aim}。

计算出 A 中所有元素异或 x, 求 xk 的期望。

Input

第一行两个正整数 n, k。

以下 n 行每行一个整数，表示 ai。

Output

如果结果是整数，直接输出。如果结果是小数（显然这个小数是有限的），输出精确值（末尾不加多余的 0）。

Sample Input

4 2

0

1

2

3

Sample Output

3.5

比较难的题

求出n个数的线性基，线性基中每个集合的异或和都唯一，并且属于满射

所以可以暴力线性基的所有集合异或和，然后加在一起除以2^cnt就是答案了（cnt为线性基元素个数）

但是线性基中最多有62个数，暴力是不行的

考虑按k分情况讨论

①k>=3：

因为答案不会超过long long范围，所以线性基中所有元素不会超过64/3个，可以直接暴力

不过注意一个坑：答案不会超过long long但是你计算所有异或和最后要除以2^cnt才是答案，所以计算所有贡献的过程中可能会爆long long，要边计算边除，也就是将val写成val/(2^cnt)和val%(2^cnt)两部分；

②k = 1：

不能暴力了，假设某个数ai转成二进制后第k位为1，因为这个数被选的概率刚好是1/2，并且很明显，无论它和谁异或，这个1一定都会有刚好1/2的概率对答案有贡献，所以可以发现答案就是所有数or起来/2

③k = 2：

假设某个集合的异或和为x，x转成二进制后是bm…b1b2b3（bm表示二进制第m位，0/1），那么x²就等于∑bibj*2^(i+j)，当且仅当第i位第j位都为1时，对答案计算有2^(i+j)的贡献，用上面k=1的思想可以轻松得出这个概率是1/4（有00, 10, 01, 11四种情况各1/4），不过，当所有数第i位和第j位都相同时，概率会变为1/2（只有00,11两种情况），当所有数第i位都为0或者第j位都为0时概率为0

#include<stdio.h>#define LL unsigned long longLL a[100005], p[66], jz[66], er[66] = {1};int main(void){LL ans, temp, mod, c, d;int i, j, k, cnt, n, flag;scanf("%d%d", &n, &k);for(i=1;i<=62;i++)er[i] = er[i-1]*2;for(i=1;i<=n;i++)scanf("%llu", &a[i]);if(k==1){ans = 0;for(i=1;i<=n;i++)ans |= a[i];printf("%llu", ans/2);if(ans%2)printf(".5");}else if(k==2){temp = 0;for(i=1;i<=n;i++)temp |= a[i];mod = ans = 0;for(i=62;i>=0;i--){for(j=62;j>=0;j--){if((temp&(1ll<<i))==0 || (temp&(1ll<<j))==0)continue;flag = 1;for(k=1;k<=n;k++){if((a[k]&(1ll<<i)) && (a[k]&(1ll<<j))==0 || (a[k]&(1ll<<i))==0 && (a[k]&(1ll<<j))){flag = 0;break;}}if(flag){ans += er[i+j]/2;mod += er[i+j]%2;}else{ans += er[i+j]/4;if(er[i+j]%4)mod++;}}}printf("%llu", ans+mod/2);if(mod%2)printf(".5");}else{cnt = 0;for(i=1;i<=n;i++){for(j=62;j>=0;j--){if(a[i]&(1ll<<j)){if(p[j]==0){p[j] = a[i];jz[cnt++] = p[j];break;}elsea[i] ^= p[j];}}}ans = mod = 0;for(i=0;i<(1ll<<cnt);i++){temp = 0;for(j=0;j<=cnt-1;j++){if(i&(1ll<<j))temp ^= jz[j];}c = 0, d = 1;for(j=1;j<=k;j++){c *= temp, d *= temp;c += d/er[cnt], d %= er[cnt];}ans += c, mod += d;ans += mod/er[cnt], mod %= er[cnt];}printf("%llu", ans);if(mod)printf(".5");}printf("\n");return 0;}