IEEE754 浮点数格式 与 Javascript number 的特性

Javascript 作为一门动态语言，其数字类型只有 number 一种。 nubmer 类型使用的就是 IEEE754 标准中的 双精度浮点数。Javascript 数字的许多特性都依赖于此标准，例如令人费解的 0.1+0.2不等于0.3

这篇文章介绍 IEEE754 标准中双精度浮点数二进制储存格式，并由此推出 js 中数字的一些特性。

一、IEEE754 中浮点数的储存格式

在 IEEE754 中，双精度浮点数储存为64位：

指数位可以通过下面的方法转换为使用的指数值：

浮点数表示的值的形式由 e 和 f 确定：

二、根据 IEEE754 计算 0.1+0.2

1. 将 0.1 使用转换为二进制

0.1=(0.00˙0˙1˙1˙)2=(−1)0×2−4×(1.1˙0˙0˙1˙)2

0.2=0.1×21=(−1)0×2−3×(1.1˙0˙0˙1˙)2

由于小数位 f 仅储存 52bit, 储存时会将超出精度部分进行"零舍一入"

值类型小数位(储存范围内)小数位(储存范围外)无限精确值1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 10011001 1001...实际储存值1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010-

由于计算加减时不会对指数位进行位运算，这里不计算指数位的表示，直接使用数字表示最终的指数值

0.1、0.2 的表示如下：

浮点数数值符号位 s指数值 E小数位 f0.10-41001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 10100.20-31001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010

2. 将 0.1 与 0.2 相加

在计算浮点数相加时需要先进行“对位”，将较小的指数化为较大的指数，并将小数部分相应右移

0.1→(−1)0×2−3×(0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010)2
0.2→(−1)0×2−3×(1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010)2

0.1+0.2=(−1)0×2−2×(1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)2

可以通过下面的方法检验计算结果是否于 js 中一致：

0.1 + 0.2 === (-1)**0 * 2**-2 * (0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2**-52)//> true//计算正确

三、计算 javascript Number 的特性

在js中 Number对象上附带了许多属性，表示可数的范围等信息，例如 Number.MAX_SAFE_INTEGER 是一个16位的数字，这一部分将解释如何计算出这些有特殊意义的数字。

1.计算 Number.MAX_VALUE 和 Number.MIN_VALUE

当符号位为0、指数取到1023、小数位全为1时，为可表示的最大值 
当符号位为0、指数位全为0（表示非规格浮点数）、小数位仅最后一位为1时，为可表示的最小正值

var max = (-1)**0 * 2**1023 * (Number.parseInt( "1".repeat(53) ,2) * 2**-52);max === Number.MAX_VALUE;//> truevar min = (-1)**0 * 2**-1022 * (Number.parseInt( "0".repeat(52)+"1" ,2) * 2**-52);min === Number.MIN_VALUE;//> true

2.计算 Number.MAX_SAFE_INTEGER 和 Number.MIN_SAFE_INTEGER

Number.MAX_SAFE_INTEGER 表示最大安全整数，它是9开头的16位数字，也表明js number最大精度不超过16位。

ECMASCRIPT-262 定义：

The value of Number.MAX_SAFE_INTEGER is the largest integer n such that n and n + 1 are both exactly representable as a Number value. 
http://www.ecma-international...

改变指数位为53，这让每个小数位都表示浮点数的整数部分，小数位最低位对应 20，然后将每个小数位都置1，可得最大准确整数：

var max_safe_int = (-1)**0 * 2**52 * (Number.parseInt("1".repeat(53),2) * 2**-52);max_safe_int === Number.MAX_SAFE_INTEGER;//> true//当它 +1 时，可由 (-1)**0 * 2**53 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(52),2) * 2**-52) 正确表示，而再 +1 时则无法准确表示//符号位取反可得最小安全整数-1 * max_safe_int === Number.MIN_SAFE_INTEGER;

3.计算 Number.EPSILON

Number.EPSILON 是一个极小值，用于检测计算结果是否在误差范围内。例如：

Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON;//> true//2017-9-27 补充1.1 + 1.3 - 2.4 < Number.EPSILON//> false

根据 ECMASCRIPT-262 定义：

The value of Number.EPSILON is the difference between 1 and the smallest value greater than 1 that is representable as a Number value, which is approximately 2.2204460492503130808472633361816 x 10‍−‍16.

http://www.ecma-international...

根据定义Number.EPSILON是大于1的最小可表示数与1的差，可以据此计算出 Number.EPSILON 的值：

//将表示1的二进制小数位的最左端置1，可表示大于1的最小数var epsilon = (-1)**0 * 2**0 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(51)+"1",2) * 2**-52) - 1;// (-1)**0 * 2**0 * (+`0b1${"0".repeat(51)}1` * 2**-52) - 1;epsilon === Number.EPSILON;//> true