第四章向量组的线性相关性
§第四章第一节n维向量
一、n维向量的概念
定义1.n个有次序的数a 1 ,a 2 ,⋯,a n 所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数a i 称为第i个分量.
列向量:α=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 1 a 2 ⋮a n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
行向量:α T =(a 1 ,a 2 ,⋯,a n )
零向量：0 T =(0,0,⋯,0 )
负向量:−α T =(−a 1 ,−a 2 ,⋯,−a n )
二、n维向量的运算
定义2.设n维向量:α T =(a 1 ,a 2 ,⋯,a n )β T =(b 1 ,b 2 ,⋯,b n )1)α T =β T ,当且仅当a i =b i (i=1,2,⋯,n);2)α T +β T =(a 1 +b 1 ,a 2 +a 2 ,⋯,a n +b n );3)kα T =(ka 1 ,ka 2 ,⋯,ka n )(其中k为常数)
注:如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算.
三、n维向量的运算律
设α,β,γ为n维向量,k,l为实数,0为零向量.
1)α+β=β+α
2)α+β+γ=α+(β+γ)
3)α+0=α(这里的0是0向量,0向量与α维数、形状相同)
4)α+(−α)=0(0为0向量)
5)1⋅α=α(数乘向量有逆运算)
6)k(lα)=(kl)α
7)k(α+β)=kα+kβ
8)(k+l)α=kα+lα
四、n维向量的实际意义
我们称n维向量的全体所组成的集合R n ={x=(x 1 ,x 2 ,⋯,x n )|x 1 ,x 2 ,⋯,x n ∈R}为n维向量空间.
n维向量有着广泛的实际意义.例如：为确定飞机的状态,需要6个参数(构成6维向量).表示飞机重心在空间的位置需3个参数,还有3个参数是:1)机身的水平转角θ(0≤θ<2π);2)机身的仰角φ(−π2 ≤φ≤π2 );3)机翼(以机身为轴)的转角ψ(−π<ψ≤π).
例1.计算设α=⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ,β=⎛ ⎝ ⎜ 110 ⎞ ⎠ ⎟ 求1)α+2β;2)3α−β;
解:1)α+2β=⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ +2⎛ ⎝ ⎜ 110 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ 220 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 121 ⎞ ⎠ ⎟ 3α−β=3⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ −⎛ ⎝ ⎜ 110 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ −303 ⎞ ⎠ ⎟ −⎛ ⎝ ⎜ 110 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ −4−13 ⎞ ⎠ ⎟
