动态规划专练2 最长公共子序列问题

一、问题描述

求两个字符序列的公共最长子序列。例如字符序列abcbdb和字符序列acbbabdbb的最长公共子序列为acbdb。

二.基本概念知识（摘自博客）：子序列基本概念

三：假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素相等，那么S1和S2的LCS就等于 {S1减去最后一个元素} 与 {S2减去最后一个元素} 的 LCS  再加上 S1和S2相等的最后一个元素。

       假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素不等（本例子就是属于这种情况），那么S1和S2的LCS就等于 ： {S1减去最后一个元素} 与 S2 的LCS， {S2减去最后一个元素} 与 S1 的LCS 中的最大的那个序列。

四：递推公式：---dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;(a[i]==b[j])

                                        =max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])(a[i]!=b[j])

其中：i，j是指a，b数组中到第i,j个字符的字符串。

五。

       解决LCS问题，需要把原问题分解成若干个子问题，所以需要刻画LCS的特征。

       设A=“a0，a1，…，am”，B=“b0，b1，…，bn”，且Z=“z0，z1，…，zk”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
       如果am=bn，则zk=am=bn，且“z0，z1，…，z(k-1)”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列；
       如果am!=bn，则若zk!=am，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，bn”的一个最长公共子序列；
       如果am!=bn，则若zk!=bn，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，am”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列。

六。代码以及输出最长序列（其中一个）

#include <stdio.h>#include<string.h>char a[1000],b[1000];//输入两个字符串int digit[1000][1000];//记录a到i同时b到j的最大长度int output[1000][1000];//用于输出标记char put[1000];//保存输出字符int main(){    int n,m;    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)    {        getchar();        memset(a,0,sizeof(a));        memset(b,0,sizeof(b));        memset(digit,0,sizeof(digit));        memset(put,0,sizeof(put));        gets(a);        gets(b);        int i,j;        for(i=0; i<n; i++)        {            for(j=0; j<m; j++)            {                if(a[i]==b[j])                {                    digit[i+1][j+1]=digit[i][j]+1;//长度加一                    output[i+1][j+1]=1;//此处标记为1                }                else if(digit[i+1][j]>=digit[i][j+1])//不然选子序列较大的那个                {                    digit[i+1][j+1]=digit[i+1][j];                    output[i+1][j+1]=2;//删掉b结尾较大，此处标记为2                }                else                {                    digit[i+1][j+1]=digit[i][j+1];//删掉a结尾较大，此处标记为3                    output[i+1][j+1]=3;                }            }        }        printf("最长公共子序列长度为： %d\n",digit[n][m]);        i=n,j=m;        int k=digit[n][m];        while(i>0&&j>0)        {            if(output[i][j]==1)//==1时为两子序列公共地方，存下来            {                put[k-1]=a[i-1];                i--;                j--;                k--;            }            else if(output[i][j]==2)//标记为2时是删掉b结尾导致的，顺着往上应该j--，下面同理                j--;            else                i--;        }        printf("最长公共子序列为: %s\n",put);    }    return 0;}