【虚树+树形DP】BZOJ2286(Sdoi2011)[消耗战]题解

题目概述

给出一棵 n 个节点的树（有边权），有 m 个询问，每次询问给出 k 个节点，需要干掉若干条边使得 k 个节点都不与 1 连通，求最小代价。

解题报告

如果只有一组询问，显然是 O(n) 树形DP，但是有多组询问……不过我们注意到 ∑k 不大，所以如果我们能建出一棵新树，这棵新树只和关键点有关，就可以加快速度。这种树就是虚树，接下来我们讲一下构造方法：

为了维持树形不变，所以我们需要把 k 个点两两点之间的LCA也建进虚树中，但是这不是 O(k2) 的吗？yy一下会发现如果我们先把 k 个点按照DFS序排序，然后只要求相邻两点的LCA的就行了，非相邻两点的LCA一定包含在相邻点的LCA中。

得到关键的 2k−1 个点之后，我们再按照DFS序排序，然后用栈维护一条链，如果目前加入的点 x 不是栈顶的孙子，就删除栈顶。最后再连接栈顶和 x ，并把 x 入栈就行了。

十年OI一场空，没开long long见祖宗。

示例程序

#include<cstdio>#include<cctype>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=250000,maxm=1000000,maxe=maxn*2+maxm,Log=18;int n,te,K,m,a[maxm+5],dep[maxn+5];LL MIN[maxn+5];int E,lnk[2][maxn+5],son[maxe+5],nxt[maxe+5],w[maxe+5];int fa[maxn+5][Log+5],ti,Lt[maxn+5],Rt[maxn+5];int top,stk[maxm+5];bool vis[maxn+5];#define Eoln(x) ((x)==10||(x)==13||(x)==EOF)inline char readc(){    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);    if (l==r) return EOF;return *l++;}inline int readi(int &x){    int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';    while (!isdigit(ch)) {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}    if (lst=='-') f=-f;    while (isdigit(ch)) tot=(tot<<3)+(tot<<1)+ch-48,ch=readc();    return x=tot*f,Eoln(ch);}inline void Add(int x,int y,int z) {son[++E]=y;w[E]=z;nxt[E]=lnk[0][x];lnk[0][x]=E;}inline void Add(int x,int y) {son[++E]=y;nxt[E]=lnk[1][x];lnk[1][x]=E;}void Dfs(int x,int pre=0){    Lt[x]=++ti;dep[x]=dep[pre]+1;fa[x][0]=pre;    for (int i=1;i<=Log;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];    for (int j=lnk[0][x];j;j=nxt[j]) if (son[j]!=pre)        MIN[son[j]]=min(MIN[x],(LL)w[j]),Dfs(son[j],x);    Rt[x]=ti;}inline int LCA(int x,int y){    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);    for (int j=Log;j>=0&&dep[x]>dep[y];j--) if (dep[fa[x][j]]>=dep[y]) x=fa[x][j];    if (x==y) return x;    for (int j=Log;j>=0;j--) if (fa[x][j]!=fa[y][j]) x=fa[x][j],y=fa[y][j];    return fa[x][0];}inline bool cmp(int x,int y) {return Lt[x]<Lt[y];}#define Son(fa,x) (Lt[fa]<=Lt[x]&&Rt[x]<=Rt[fa])LL DP(int x){    if (vis[x]) return MIN[x];LL ans=0;    for (int j=lnk[1][x];j;j=nxt[j]) ans+=DP(son[j]);    return min(ans,MIN[x]);}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    for (int i=(readi(n),1),x,y,z;i<n;i++)        readi(x),readi(y),readi(z),Add(x,y,z),Add(y,x,z);    for (MIN[1]=9e18,Dfs(1),readi(te);te;te--)    {        readi(K);for (int i=1;i<=K;i++) readi(a[i]),vis[a[i]]=true;        a[m=++K]=1;sort(a+1,a+1+m,cmp);top=0;        for (int i=2;i<=K;i++) a[++m]=LCA(a[i-1],a[i]);        sort(a+1,a+1+m,cmp);m=unique(a+1,a+1+m)-a-1;        for (int i=1;i<=m;i++)        {            while (top&&!Son(stk[top],a[i])) top--;            if (top) Add(stk[top],a[i]);stk[++top]=a[i];        }        printf("%lld\n",DP(1));        for (int i=1;i<=m;i++) lnk[1][a[i]]=0,vis[a[i]]=false;    }    return 0;}