1632 Sumsets【转】

来源：互联网发布：vb循环语句do while 编辑：程序博客网时间：2024/05/17 04:32

Sumsets

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http://acm.tzc.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1632
描述
Farmer John commanded his cows to search for different sets of numbers that sum to a given number. The cows use only numbers that are an integer power of 2. Here are the possible sets of numbers that sum to 7:

1) 1+1+1+1+1+1+1
2) 1+1+1+1+1+2
3) 1+1+1+2+2
4) 1+1+1+4
5) 1+2+2+2
6) 1+2+4

Help FJ count all possible representations for a given integer N (1 <= N <= 1,000,000).
输入
A single line with a single integer, N.

输出
The number of ways to represent N as the indicated sum. Due to the potential huge size of this number, print only last 9 digits (in base 10 representation).

样例输入

7

样例输出

6

原创总结：看起来像母函数，如果大数据超时夸张，可以考虑找规律。

分析：

转自：http://hi.baidu.com/mad4alcohol/blog/item/744edc9472ac3c41d0135e1c.html

以s[i]表示i的拆分方案总数，则
如果i为奇数，那么s[i] = s[i - 1]，否则s[i] = s[i / 2] + s[i - 1]
为什么？想想以下的例子，你就明白了：
7 =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 =
1 + 1 + 1 + 2 + 2 =
1 + 1 + 1 + 4 =
1 + 2 + 2 + 2 =
1 + 2 + 4

6 =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
1 + 1 + 1 + 1 + 2 =
1 + 1 + 2 + 2 =
1 + 1 + 4 =
2 + 2 + 2 =
2 + 4 =

5 =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
1 + 1 + 1 + 2 =
1 + 2 + 2 =
1 + 4

4 =
1 + 1 + 1 + 1 =
1 + 1 + 2 =
2 + 2 =
4

3 =
1 + 1 + 1 =
1 + 2

2 =
1 + 1 =
2

1 =
1

可以发现：由于奇数是由一个偶数加1得到的，而这个1对方案总数没有影响，所以奇数的方案总数为它的前一个数的方案总数（即偶数的方案总数）；
对于偶数x，上面说了，如果某个数由另一个数加1得到，那么这个1对方案总数没有影响，所以x的方案总数肯定有x - 1的方案总数的份，这样方案中至少包含1 + 的种类考虑到了，如果这个数的拆分方案中不包含1 + 的话（肯定是有的，因为是偶数），比如6，将它的含1 + 的方案剃掉，我们就有
6 =
2 + 2 + 2 =
2 + 4
除以2的话，我们得到了
3 =
1 + 1 + 1 =
1 + 2
这不就是3的方案吗，所以x的方案总数的第二部分就是x/2的方案总数。

综上 s[i] = s[i - 1], i is odd;
s[i] = s[i - 1] + s[i / 2], i is even.

#include <iostream>using namespace std;int     n;__int64 s[1000001];int main(){    cin>>n;    s[1] = 1;for( int i = 2; i <= n; i++ ){if( i % 2 == 0 )s[i] = ( s[i - 1] + s[i / 2] ) % 1000000000;if( i % 2 == 1 )s[i] = s[i - 1];}  cout<<s[n]<<endl;    return 0;}

另一个想法：

转自：http://hi.baidu.com/rain_bow_joy/blog/item/11f51c1d7e7a7a8287d6b6cd.html

最后思路是一样的找规律。

题意：
就是给定一个n，来计算有2的次方数所能组成N的种数；（ps：就喜欢看这种，简单明了的题。。
算法：（dp 可做，肯定超时啊；找规律）；
一看就是个多重背包问题；最优子结构得状态方程：
再增加一个2的次方数X时，dp【i】=sum{dp[k]},k是能通过加上X的倍数等于i；
于是乎，写之；正确是正确，只是这样严重超时啊。。不是一般的超时啊。。
于是把前几十个数的结果打印出来观察；有规律。。
奇数时dp【i】=dp[i-1];
偶数时dp[i]=dp[i-2]+dp[i/2];
只是不知为甚？。。后来看到disscuss，才发现自己的弱智。。（ps：自我鄙视一小下）；
当i为奇数时，可以有1加到，就是dp【i】=dp[i-1];
当i为偶数时，可以有1+1，和全部是偶数得到，就是dp[i]=dp[i-2]+dp[i/2];
另外，取后几位的话，取模一下就okay了。。
方丈的代码：
#include<iostream>
using namespace std;

long dp[1100000];
int main()
{
    int N;scanf("%d",&N);
    int d;
    
     dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=2;dp[4]=4;dp[5]=4;dp[6]=6;
    for(d=7;d<=N;d++)
     {
        if(d%2) {dp[d]=dp[d-1];}
        else
         {
             dp[d]=dp[d-2]+dp[d/2];
            if(dp[d]>999999999) dp[d]%=1000000000;
         }
     }
     printf("%d/n",dp[N]);
return 0;}