Hilbert 第十问题漫谈

1. 问题

 

      数学问题是数学中最具魅力的部分之一， 并且也是数学史上许多重要思想的源泉。 据说有人曾建议德国著名的数学家希尔伯特 (David Hilbert, 1862-1943) 去解决费尔马猜想， 以夺取为这一猜想而设的沃尔夫斯凯尔奖金 (Wolfskehl Prize)， 希尔伯特却笑笑回答说： “我为什么要杀掉一只会下金蛋的鹅呢？” 在希尔伯特看来， 一个象费尔马猜想这样的数学问题对数学的价值是无可估量的。 希尔伯特不仅舍不得 “杀鹅”， 还怀着极大的热诚为二十世纪的数学界做了一回 “寻鹅之人”。 1900 年， 在巴黎举行的第二届国际数学家大会上， 希尔伯特做了一次堪称数学史上影响最为深远的演讲， 演讲的题目叫做 “数学问题”。 在这一演讲中， 希尔伯特列举了二十三个他认为最具重要意义的数学问题^[注一]。 这些问题被后人称为 “希尔伯特问题”。 解决希尔伯特问题成了许多数学家终生奋斗的目标， 而在解决这些问题的过程中源源不断地产生出的 “金蛋” 则为二十世纪的数学发展注入了极大的生机。

 

      在本文中我们就来讲述有关这些数学问题中的第十个 - 即希尔伯特第十问题 - 的一些故事。

 

      希尔伯特第十问题是一个与解方程有关的问题。 解方程大家都不陌生， 在中学时我们就解过许多简单的方程， 比如 2x-2y=1， x²+y²=z²， 等。 我们所举的这两个简单方程有一个共同的特点， 那就是它们只包含未知数的整数次幂， 而且系数也都是整数， 这类方程被称为整系数代数多项式方程。 数学家们对这类方程的研究有着漫长的历史。

 

      公元三世纪的时侯， 古希腊数学家丢番图 (Diophantus, 200?-284?) 发表了一部长篇巨著， 叫做 《算术》。 这部著作共有十三卷， 经过一千七百余年的漫长岁月， 现在流传于世的有六卷^[补注一]。 丢番图在这部著作中对整系数代数多项式方程进行了大量的研究， 这些研究对代数与数论的发展有着先驱性的贡献。 后人为了纪念他， 就把整系数代数多项式方程称为丢番图方程 (Diophantine Equation)。

 

      对于丢番图方程， 数学家们最感兴趣的一个问题就是研究它是否有整数解 (或自然数解)。 对于简单的方程来说这是很容易找到答案的， 比如上面提到的 x²+y²=z² 有整数解 (早在三千多年前， 我国古代的数学家就知道这个方程的一组解： 即勾三股四弦五)； 另一方面， 2x-2y=1 则没有整数解 (因为方程的左边为偶数， 右边却为奇数)。 但对于一般的丢番图方程来说， 判断它是否有整数解却往往是一件极其困难的事情， 其中最著名的例子就是费尔马猜想， 即 xⁿ + yⁿ = zⁿ 在 n>2 时没有非零整数解， 隔了三百多年才得到证明^[注二]。

 

      长期以来， 人们对丢番图方程是否有整数解的研究都是针对特定形式的丢番图方程进行的。 那么有没有办法对一般的丢番图方程是否有整数解进行研究呢？ 或者具体地说， 是否可以找到一种普遍的算法， 可以用来判定一个任意的丢番图方程是否有整数解， 从而一劳永逸地解决这类问题呢？ 这便是著名的希尔伯特第十问题。 这样的问题在数学上被称为判定问题 (Decision Problem)， 因为它寻求的是对数学命题进行判定的算法。

 

      希尔伯特是一位对数学充满乐观信念的数学家。 在他提出这一问题的时侯， 虽然没有明确表示这样的算法一定存在， 但他没有用 “是否存在这样的算法” 作为问题的表述， 而是直接要求数学家们寻找这样的算法， 可见他对存在一个肯定的答案怀有期待。 这种期待也与他在其它方面对数学的乐观看法一脉相承。 但后来的数学发展却出现了连希尔伯特这样的数学大师都始料未及的变化。

 

2. 算法

 

 

      希尔伯特第十问题要求寻找判定丢番图方程是否有解的算法。 但究竟什么是算法呢？ 在当时却没有一个明确的定义。 这是研究希尔伯特第十问题所遇到的第一个困难。 这一困难使得希尔伯特第十问题在提出后整整三十年没有取得任何实质进展。

 

      对算法的研究直到二十世纪三十年代起才逐渐深入起来。

 

      什么是算法呢？ 粗略地讲， 算法是 (通过有限多的步骤) 对数学函数进行有效计算的方法。 或者反过来说， 如果一个数学问题能够通过可以有效计算的数学函数得到答案， 那么我们就说这个数学问题存在算法。 因此算法研究的一个重要的切入点便是寻找可以有效计算的函数。 到底什么样的函数是可以有效计算的呢？ 一开始数学家们并没有普遍的结论， 只知道一些最简单的函数， 以及用这些函数通过若干简单规则组合出的函数是可以有效计算的。 数学家们把这类函数叫做递归函数 (Recursive Function)。

 

      1931 年， 年轻的法国数学家赫尔布兰德 (Jacques Herbrand, 1908-1931) 对递归函数进行了研究， 并给著名逻辑学家哥德尔 (Kurt Gödel, 1906-1978) 写信叙述了自己的研究结果。 但哥德尔当时正处于自己一生最重大的成果 - 哥德尔不完全性定理 - 的研究时期， 没有立即对赫尔布兰德的工作做出回应^[注三]。 那一年的夏天， 年仅二十三岁的赫尔布兰德在攀登阿尔卑斯山时不幸遇难， 他的工作因此被暂时埋没了起来。

 

      与赫尔布兰德的研究差不多同时， 在二十世纪三十年代初的时侯， 普林斯顿大学的美国逻辑学家丘奇 (Alonzo Church, 1903-1995) 也在积极从事逻辑及算法的研究， 并且发展出了一种新的逻辑体系。 他让自己的两位学生 - 克林 (Stephen Kleene, 1909-1994) 与罗瑟 (John Rosser, 1907-1989) 对这一体系做细致的研究。 他的这两位学生都是第一流的好手， 克林更是后来自己也成为了第一流的逻辑学家， 他们的研究很快就有了结果， 但这结果却大大出乎丘奇的意料。 他们发现丘奇的那套体系竟然是自相矛盾的！ 自相矛盾的逻辑体系只能有一个命运， 那就是被放弃。 但幸运的是， 丘奇的那套体系中有一个组成部分仍然是自洽的， 因此可以保留下来， 这一部分叫做兰姆达运算 (λ-calculus)。 这种兰姆达运算是做什么用的呢？ 它可以用来定义函数， 而所有用兰姆达运算定义的函数都是可以有效计算的。 在对兰姆达运算做了研究之后， 丘奇提出了一个大胆的猜测， 他猜测所有可以有效计算的函数都可以用兰姆达运算来定义。

 

      1934 年， 丘奇向到普林斯顿大学访问的哥德尔介绍了这一猜测， 但哥德尔却不以为然。 丘奇不服气， 于是请哥德尔给出一个他认为合适的描述。 哥德尔没有让他久等， 一两个月后就给出了一种完全不同的描述。 哥德尔所给出的这种描述的基础正是三年前赫尔布兰德在给他的信中叙述的结果。 哥德尔对这一结果进行了完善。 这一结果因此被人们称为赫尔布兰德-哥德尔递归函数。

 

      就这样， 丘奇与哥德尔各自给出了一种体系， 来描述可以有效计算的函数。 那么两者孰优孰劣呢？ 丘奇与克林经过研究， 很快证明了这两种看上去完全不同的描述方式实际上是彼此等价的。 这两位著名逻辑学家的工作殊途同归大大增强了丘奇的信心， 他相信人们已经找到了可以有效计算的函数的普遍定义。 但哥德尔及其他一些人对此却仍然怀有疑虑。 最终打消这种疑虑的是英国数学家图灵 (Alan Turing, 1912-1954)。图灵当时对丘奇及哥德尔在这方面的研究并不知情。 他所研究的课题是什么样的运算可以用机器来实现^[注四]。 他的这一研究对后来计算机科学的发展起到了深远的影响。 在图灵的研究接近完成的时侯， 他的导师注意到了丘奇与哥德尔的工作。 于是图灵对彼此的工作进行了比较， 结果发现丘奇与哥德尔所定义的那些函数与他的抽象计算机可以计算的函数恰好吻合！ 图灵把这一结果作为附录加进了自己的论文。 这一下就连哥德尔也心悦诚服了， 毕竟， 有什么能比在抽象计算机上可以直接计算更接近 “可以有效计算” 以及算法的基本含义呢^[注五]？

 

      在这些有关算法的研究中， 数学家们还提出了一个重要的概念， 叫做 “递归可枚举集” (Recursively Enumerable Set)。 什么叫做递归可枚举集呢？ 那是指由可以有效计算的函数所生成的自然数的集合^[注六]。 我们知道， 对于一个集合来说， 有一个很基本的问题就是判断一个元素是否属于该集合。 递归可枚举集也不例外。 但是当数学家们研究递归可枚举集的时侯， 却发现了一个十分微妙的结果， 那就是对于某些递归可枚举集来说， 我们无法判定一个自然数是否属于该集合！ 换句话说， 有一些递归可枚举集是不可判定的。 这一结果把对算法的研究与判定问题联系了起来， 为后来解决希尔伯特第十问题埋下了重要的伏笔。

 

      这一系列结果的出现主要集中在 1936-1937 年间。 那时侯， 在数学中存在无法判定的命题本身已经不是一件新鲜事了。 因为早在五年前哥德尔就已经证明了他的不完全性定理， 那就是任何足够复杂并且自洽的数学体系都必定包含不可判定的命题^[注七]。 但当时已知的不可判定命题大都集中在逻辑领域内。 那么在数学的其他领域中究竟哪些命题是不可判定的呢？ 这个问题在整整十年之后才开始有答案。 1947 年美国数学家波斯特 (Emil Post, 1897-1954) 找到了第一个逻辑领域以外的不可判定命题。 波斯特是一位有着深刻洞察力的逻辑学家， 七岁时随父母从波兰移民到美国， 是美国逻辑学的先驱之一。 他比哥德尔早了将近十年就得到了与哥德尔不完全性定理相似的结果， 但由于想对结果作更全面的分析而没有及时发表。 1936 年， 几乎与上面提到的哥德尔、 丘奇及图灵同时， 波斯特独立提出了非常类似于图灵的结果。 波斯特同时还是最早意识到希尔伯特第十问题可能会有否定答案的数学家之一。 他在 1944 的一篇文章中明确提出希尔伯特第十问题 “期待一个不可解性证明”。 当时波斯特在纽约市立大学任教， 他的这一观点深深地打动了一位学生， 使后者走上了毕生钻研希尔伯特第十问题的征途。 那位学生名叫戴维斯 (Martin Davis, 1928-)， 是解决希尔伯特第十问题的关键人物。

 

3. 丢番图集

 

      戴维斯的父母也是从波兰移民来美国的， 戴维斯本人出生在纽约。 1944-1948 年间， 戴维斯在纽约市立大学学习， 波斯特对希尔伯特第十问题期待一个否定答案的看法用戴维斯本人的话说是开始了他 “对这一问题的终身迷恋”。 从纽约市立大学毕业后， 戴维斯来到了美国逻辑学的中心普林斯顿， 跟随丘奇从事进一步的研究。 戴维斯在普林斯顿研究的是一个冷门的课题， 对于研究生来说， 研究这样的课题最容易出成果。 但戴维斯无法抵御希尔伯特第十问题的魅力， 在研究自己课题的同时， 分出精力来继续思考希尔伯特第十问题。 最后他甚至在博士论文上特意增添了一个章节， 简单叙述了自己在希尔伯特第十问题上 “不务正业” 的结果， 那是在 1950 年。 这一增添的章节使戴维斯的那篇原本会象多数研究生工作那样被人遗忘的博士论文名垂史册。 三年后， 戴维斯发表了一篇更详细的论述。 他的这一工作标志着数学家们正式开始解决希尔伯特第十问题。

 

      戴维斯在他的研究中引进及运用了一个重要的概念， 称为 “丢番图集” (Diophantine Set)。 和我们在上面提到的递归可枚举集一样， 丢番图集也是一些由自然数组成的集合。 所不同的是， 递归可枚举集是由可以有效计算的函数生成的， 而丢番图集则是通过丢番图方程生成的。 戴维斯的重要发现就在于找到了这两类集合之间的一种关联。

 

      这两类集合之间的关联为什么重要呢？ 是因为倘若希尔伯特第十问题具有肯定的答案， 即存在一个算法来判定丢番图方程是否有解， 那么我们就可以用这一算法来确定一个自然数是否属于某个丢番图集， 这表明所有丢番图集都是可判定的。 反过来， 倘若我们可以证明某些丢番图集是不可判定的， 也就证明了希尔伯特第十问题具有否定的答案， 而这正是戴维斯想要做的。

 

      那么怎样才可以证明某些丢番图集是不可判定的呢？ 最好的办法就是设法把它与某一类已经知道是不可判定的集合联系在一起。 那么什么样的集合是已经知道不可判定的呢？ 正是上面提到的递归可枚举集。 因此在这两类集合之间建立关联是非常重要的。 尤其是， 如果有人可以证明所有的递归可枚举集都是丢番图集， 那么也就等于证明了某些丢番图集是不可判定的， 从而也就完成了对希尔伯特第十问题的否定解决。 这正是戴维斯的思路。不幸的是， 在戴维斯找到的关联中用到了一个被称为有界全称量词 (Bounded Universal Quantifier) 的逻辑算符。 如果没有这个有界全称量词， 他就可以证明所有的递归可枚举集都是丢番图集， 一切就大功告成了。 可是数学证明是差不得分毫的， 因为有了这个有界全称量词， 戴维斯的逻辑链条中断了， 从而无法对希尔伯特第十问题作出解答。 但尽管如此， 戴维斯仍然相信所有的递归可枚举集都是丢番图集， 他把这一点作为一个猜测提了出来。 在当时的情况下， 这是一个很大胆的猜测。

 

      要证明戴维斯的猜测， 关键就得把那个有界全称量词去掉， 这却是一件非常困难的事情。 直到九年以后， 即 1959 年， 戴维斯才在与哲学家普特南 (Hilary Putnam, 1926-) 的合作中有条件地做到了这一点。 但是他们为了做到这一点所付出的代价却是不得不引进两条额外的假设。 初看起来， 这象是不进反退， 原本只有一个麻烦， 现在反而变成了两个。 但数学假设的证明难度不是用数量来衡量的， 戴维斯与普特南所引进的那两条额外假设比那个有界全称量词来得具体， 因而处理起来要容易一些。 在发表这一研究的全文之前， 戴维斯与普特南决定听一听研究希尔伯特第十问题的另一位重要人物罗宾逊夫人 (Julia Robinson, 1919-1985) 的看法， 因此他们把结果寄给了罗宾逊夫人。 这一寄揭开了一段新的合作， 把他们的结果又大大向前推进了一步。

 

4. 罗宾逊猜想

 

      罗宾逊夫人是数学界少有的女数学家之一。 与其他女数学家一样， 她一生在追求学术的过程中遇到过许多坎坷。 这些坎坷既有来自于社会的， 也有生活上的不幸。 罗宾逊夫人幼年时屡患疾病， 导致身体虚弱， 无法生育， 这一点曾使酷爱家庭的她陷入极度的痛苦之中。 后来 - 在她同为数学家的丈夫的引导下 - 是数学的力量让她渐渐摆脱了痛苦的阴影。 罗宾逊夫人的丈夫早年曾是她的数论教授， 帮助她打下了非常扎实的数论基础。 罗宾逊夫人自 1948 年起开始研究希尔伯特第十问题， 并曾经与戴维斯有过交流。 当她收到戴维斯与普特南寄来的结果时， 凭借自己的数论功底很快发现他们所作的两个假设中有一个可以去掉， 同时整个证明也可以作极大的简化。 1961 年， 戴维斯、 普特南及罗宾逊夫人合作发表了这一简化后的结果。 这一结果是戴维斯、 普特南的逻辑技巧与罗宾逊夫人的数论功底的完美结合， 它是希尔伯特第十问题研究中的又一个重要的进展。

 

      但是在戴维斯与普特南所作的两个假设中仍有一个连罗宾逊夫人也无法去除。 那便是在他们的结果中用到了一种被称为 “指数丢番图集” 的集合， 这种集合类似于丢番图集， 但却涉及到指数函数。 倘若有人可以证明指数丢番图集实际上就是丢番图集， 那么戴维斯、 普特南及罗宾逊夫人的工作就完全了， 希尔伯特第十问题也就被证明具有否定的答案了。 但指数丢番图集究竟是不是丢番图集呢？ 却困住了这三个人。

 

      对罗宾逊夫人来说， 指数丢番图集其实并不陌生。 早在 1948 年， 当她刚刚涉足希尔伯特第十问题的时侯， 就研究过由著名逻辑学家塔尔斯基 (Alfred Tarski, 1901-1983) 提出的一个猜测。 这一猜测认为指数丢番图集不是丢番图集。 经过一段时间的研究后罗宾逊夫人开始怀疑起了塔尔斯基的猜测， 因为她找不到任何证据可以支持这一猜测。 于是她转而猜测与塔尔斯基猜测相反的命题， 即指数丢番图集实际上就是丢番图集， 这个命题被称为罗宾逊猜想。 这也正是戴维斯、 普特南及罗宾逊夫人 1961 年的工作中唯一缺失的环节。 他们距离希尔伯特第十问题的解决只剩下了一步之遥， 但这一步却难似登天。

 

      在罗宾逊夫人沉醉于希尔伯特第十问题的那些年里， 幼年患病所留下的后遗症一再困扰着她。 当年的一位医生甚至预言她的心脏机能受损严重， 也许活不过四十岁。 这一预测虽然很幸运地由于后来的一次成功的心脏手术而没有成为事实， 但每一年的生日， 罗宾逊夫人都要在吹熄蜡烛的时侯许愿， 希望能够看到希尔伯特第十问题的解决。 无论谁来解决都可以， 但一定要在她有生之年解决。 “我无法忍受在不知道答案的情况下离开人世” - 这是罗宾逊夫人的话。

 

      时光一年一年地流逝， 罗宾逊夫人的愿望一次一次地落空。 那手握最后一把钥匙的人究竟在哪里呢？

 

      在那个时候， 戴维斯也常常被人问到这一问题。 当时正是冷战时期， 对美国人来说世界上最遥远的地方莫过于是俄国。 戴维斯总是戏剧性地回答说： “那会是一位聪明的俄国年轻人”。 如果戴维斯是一位占星师的话， 这句回答足可让他震动天下， 因为他每一个字都说对了！ 一位聪明的俄国年轻人从世界的另一端走上了数学舞台， 他的名字叫做马蒂亚塞维奇 (Yuri Matiyasevich, 1947-)， 他将为这根长长的智慧链条扣上最后一环。

 

5. 解决

 

      马蒂亚塞维奇于 1947 年出生在俄罗斯的圣彼得堡 (即苏联的列宁格勒)。 他十二岁时父亲就不幸去世， 但家境贫寒的马蒂亚塞维奇凭借优异的数学成绩在苏联的数学竞赛体系中脱颖而出， 获得了各种教育机会。 1965 年， 在他念本科的时侯， 他的导师马斯洛夫 (S. Yu. Maslov, 1939-1982) 建议他证明丢番图方程的不可判定性。 马斯洛夫轻描淡写地补充说 “这个问题也被称为希尔伯特第十问题， 但你不必理会这个”。 马蒂亚塞维奇说他对研究这类不可解问题没有经验， 马斯洛夫回答说不可解问题没什么大不了的， 无非就是把它约化成一个已知是不可解的其它问题。 他还告诉马蒂亚塞维奇说有几个美国人曾做过一些研究， 但不必理会那些研究， 因为它们 “很可能是不充足的”。

 

      带着马斯洛夫的建议， 马蒂亚塞维奇开始研究起了希尔伯特第十问题。 但他的研究并不顺利， 他曾一度误以为自己已经解决了问题， 甚至开始准备做报告， 结果却发现自己犯了一个错误。 一段时间的徒劳无功之后， 他开始阅读起 “几个美国人” 的那些 “很可能是不充足的” 工作来， 但依然没有获得实质性进展， 倒是他作为 “研究希尔伯特问题的本科生” 的名声走红了校园， 不时遭来一些善意的取笑。 毕业的时间渐渐临近， 他只好把这个问题放在一边， 以便可以有时间做一些其它的工作 - 比方说应付毕业论文。

 

      一晃又是几年， 到了 1969 年， 顽强的罗宾逊夫人又向希尔伯特第十问题做了一次冲击。 这一次虽然仍然没有成功， 但她为证明罗宾逊猜想提出了一条非常巧妙的思路。 罗宾逊夫人的结果发表后， 很快有同事把这一消息告诉了马蒂亚塞维奇。 但这时马蒂亚塞维奇早已决定不再把时间浪费在希尔伯特第十问题上了， 于是没有理会这一消息。 事情接下来的发展变得极富戏剧性， 用马蒂亚塞维奇自己的话说： “在数学天堂的某个角落里必定存在着一位数学之神 (或女神)， 不想让我错过罗宾逊夫人的新论文”。 由于他此前对希尔伯特第十问题的研究， 苏联的一份数学评论杂志把罗宾逊夫人的论文寄给了他， 让他加以评论。 就这样他终于看到了罗宾逊夫人的论文。 这一看之下马蒂亚塞维奇立即被罗宾逊夫人的思路所吸引，重新投入到了希尔伯特第十问题的研究上来。

 

      在接下来的几个月里， 马蒂亚塞维奇一直在思索罗宾逊猜想。 1969 年在不知不觉间落下了帷幕。 在除夕夜的派对上， 马蒂亚塞维奇过于出神， 走的时侯竟然错穿了他叔叔的衣服离去。 这样全神贯注的投入终于获得了巨大的成功。 1970 年新年到来后的第四天， 马蒂亚塞维奇成功地证明了罗宾逊猜想， 从而一举解决了希尔伯特第十问题。 但有了几年前误以为解决希尔伯特第十问题的教训， 这一次他把文章交给了马斯洛夫及另一位数学家栗弗席茨 (Vladimir Lifshits)， 请他们检验， 然后携未婚妻出外滑雪度假。 两个星期后当他回到学校， 一切都变了， 他的论文经受住了以眼光犀利著称的数学家法蒂夫 (D. K. Faddeev, 1907-1989) 与马尔科夫 (A. A. Markov, 1903-1979) 的检验， 他成为了希尔伯特第十问题的解决者。

 

      一月二十九日， 马蒂亚塞维奇做了有关他研究成果的第一次公开演讲。 那次演讲中的一位听众把这一成果带到了不久之后在西伯利亚诺沃斯比尔斯克 (Novosibirsk) 举行的一次数学会议上， 而那次会议的出席者中恰好有一位是罗宾逊夫人的同事。 就这样， 马蒂亚塞维奇解决希尔伯特第十问题的消息很快传遍了数学界。 那时候马蒂亚塞维奇还不满二十三岁， 正是一位 “聪明的俄国年轻人”。

 

      二月十五日， 罗宾逊夫人接到了同事的电话， 告知她这一消息。 那一年的生日， 当罗宾逊夫人又将吹熄生日蜡烛时， 她停了下来， 忽然意识到自己许了这么多年的愿望已经成为了现实， 那是一种美妙的感觉。 虽然她自己曾经那么地接近答案， 却还是失之交臂， 但她没有觉得遗憾， 对罗宾逊夫人来说， 对数学真理的欣赏远远超越了任何个人的荣誉。 她在给马蒂亚塞维奇的祝贺信中这样写道： “让我特别高兴的是， 当我想到我最初提出那个猜想的时侯， 你还是个孩子， 而我不得不等待你的长大”。 戴维斯也非常兴奋， 他在自己的经典著作 《可计算性与不可解性》 的平装本序言中写道： “我一生最大的快乐之一是一九七零年二月读到马蒂亚塞维奇的工作”。 而年轻的马蒂亚塞维奇同样对戴维斯、 罗宾逊夫人， 以及在解决希尔伯特第十问题的漫长征途中做出贡献的所有前辈数学家表达了深深的敬意。

 

      在二十世纪六七十年代那个寒冷的政治冬天里， 这些第一流的数学家们用他们的杰出工作划开了冷战的冰层， 让世人看到了科学的伟大人文力量。 按照罗宾逊夫人的说法， 这是一种存在于科学家心中的观念， 它跨越地理、 种族、 意识形态、 性别、 年龄、 甚至时代而存在， 过去、 现在及未来的所有数学家们彼此都是同事， 他们献身于一个共同的目标， 那便是最美丽的科学与艺术。

这是希尔伯特第十问题留给我们最丰厚的精神遗产。

 

 

注释

1. 这二十三个问题中有一些 - 比如第八问题 - 不是单一问题。 另外， 这些问题是以演讲的文稿而非演讲本身为依据排列的， 希尔伯特在演讲中直接提及的只有其中的十个问题 (本文所述的第十问题不在其中)。
2. 细心的读者可能会注意到， 在本文中我们没有对整数、 自然数 (零及正整数)， 及正整数等做出区分。 这是因为可以证明， 对于希尔伯特第十问题来说， 把解限定在这些数集的任意一者中都是等价的。
3. 哥德尔给赫尔布兰德的回信写于 1931 年 7 月 25 日， 赫尔布兰德遇难的时间则是 7 月 27 日， 只相隔了两天， 赫尔布兰德没来得及收到那封回信。
4. 具体地讲， 图灵当时的目的是要研究希尔伯特于 1928 年提出的有关一阶逻辑的判定问题。
5. 不过， 需要提醒读者的是， 把可以有效计算的函数等同于丘奇、 哥德尔、 图灵等人提出的 (彼此等价的) 函数并不是建立在数学证明的基础之上的， 而只是一个论题 (被称为丘奇论题 - Church's Thesis)。 丘奇论题是无法被证明的， 因为 “有效计算” 本身是一个不存在精确定义的概念， 它本质上取决于人们对 “有效” 及 “计算” 这样的非精确概念的理解。 如果有一天人们发现有必要改变或拓展原先对这些概念的理解， 则数学上的一些相关结果 (包括希尔伯特第十问题的解决方式) 将有可能要作相应的改变。
6. 读者们想必猜到了， 这些集合之所以被称为 “递归可枚举集”， 是因为可以有效计算的函数的定义之一叫做 “赫尔布兰德-哥德尔递归函数”。
7. 确切地讲， 这是哥德尔第一不完全性定理。

 

 

附：Diophantine 方程

 

      本文是 Hilbert 第十问题漫谈 系列的第一篇数学附录。 这些数学附录大都是对概述部分中提到的数学概念及结果做技术性的补充。 本文将对 Hilbert 第十问题中涉及的第一个基本概念 - Diophantine 方程 - 做简单的介绍， 并证明对于研究 Hilbert 第十问题来说， 把 Diophantine 方程的解限定在整数、 自然数 (零及正整数)^[注一]， 或是正整数上是彼此等价的。 这一点我们在概述的第一节中含糊地用到过， 但未予仔细区分。

 

      我们从 Hilbert 第十问题的原始表述 - 即 Hilbert 本人的表述 - 开始讲起：

 

      Hilbert 第十问题: 给定一个具有任意多个未知数的整系数 Diophantine 方程： 寻找一个可以通过有限多次运算 (operation) 确定该方程是否有整数解的程序 (process)。

 

      这里出现的第一个数学概念就是 Diophantine 方程。 如我们在概述的第一节中介绍的， 这一名称是为了纪念古希腊数学家 Diophantus^[注二]。 Diophantine 方程是指未知数只取整数值的代数多项式方程， 它的一般形式为：

P(x₁, ..., x_k) ≡ Σ a_i1...ik x₁^i₁...x_k^i_k = 0

其中 x₁ ... x_k 为未知数， a_i1...ik 为常系数， 求和对 i₁ ... i_k 进行。 在 Hilbert 第十问题中， Diophantine 方程的所有系数 a_i1...ik 都是整数， 这样的方程叫做整系数 Diophantine 方程^[注三]。

 

      正如我们在概述中看到的，简单的 Diophantine 方程是否有解是连中学生都有能力判定的。 但复杂的 Diophantine 方程则可以复杂到令人难以想象的地步， 复杂到就算把全世界所有的纸都用上， 也无法写下的程度。 因为 Diophantine 方程中未知数的个数、 它们的最高幂次都是任意的。 在很多时侯， 一个 Diophantine 方程甚至不需要有很多的未知数， 也不需要有很高的幂次， 判定其是否有解就可以变得极其困难^[注四]。 Diophantine 方程之复杂艰深， 使之成为数论中一个专门的研究领域， 称为 Diophantine 分析 (Diophantine Analysis)。 在本系列中我们将会看到的， Diophantine 方程其实远不只是一些复杂的方程， 它的全部内涵比这宽广得多， 它与一些表面上看起来与整系数代数方程， 甚至与整个数论都毫无关联的数学领域有着奇妙的关联。

 

      有的读者可能会问： 既然对特定的 Diophantine 方程 (比如 Fermat 大定理所涉及的 Diophantine 方程) 是否有解的判定就已经如此困难， 动辄花费数学家们几百年的时间， 那 Hilbert 要大家研究一般 Diophantine 方程是否有解， 其胃口是不是太大了一点？ 的确， Hilbert 把这个问题列入他的讲稿曾经令一些数学家感到意外。 但是， 事情有时就是那么奇妙， 把一大堆极其困难的个体问题合在一起， 研究其群体的性质有时反而会有意想不到的优势。 Hilbert 是否是因为考虑到了这一点而 “狮子大开口” 后人不得而知。 但 Hilbert 第十问题的最终解决似乎印证了这种有意思的情形。

 

      在 Hilbert 的表述中， 他要求大家寻求的是确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序。 但后世的数学家们在研究 Hilbert 第十问题的时侯， 通常把解限制在自然数或正整数的范围内。 为什么可以作这种限制呢？ 我们现在就来证明一下。

 

      我们首先证明， 倘若存在确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序， 则必定也存在确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序。 这是因为要确定 Diophantine 方程 P(x₁, ..., x_k) = 0 是否有整数解， 只要逐一检验 2ⁿ 个 Diophantine 方程 (每个未知数带正负两种可能的符号， 共计 2ⁿ 种组合)：

P(x₁, ..., x_k) = 0
P(-x₁, ..., x_k) = 0
... ...
P(-x₁, ..., -x_k) = 0

是否有自然数解即可， 如果这 2ⁿ 个 Diophantine 方程中任何一个有自然数解， 则 P(x₁, ..., x_k) = 0 必定有整数解； 反之， 倘若这 2ⁿ 个 Diophantine 方程没有一个有自然数解， 则 P(x₁, ..., x_k) = 0 必定没有整数解 (请读者想一想这是为什么？)。 因此存在确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序， 就必定存在确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序。

 

      然后我们再证明， 倘若存在确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序， 则必定也存在确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序。 这里我们要用到一个数学定理， 即 Lagrange 四平方定理。 这个定理表明任何一个自然数都可以表示成不超过四个整数的平方之和^[注五]。 运用这个定理， 我们可以把对 P(x₁, ..., x_k) = 0 是否存在自然数解的判定约化为对包含 4k 个自变量 a₁, ..., d_k 的 Diophantine 方程

P(a₁²+b₁²+c₁²+d₁², ..., a_k²+b_k²+c_k²+d_k²) = 0

是否存在整数解的判定。 因此存在确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序， 就必定存在确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序。

 

      这样， 我们就证明了 Diophantine 方程中未知数的取值是自然数还是整数对于讨论 Hilbert 第十问题来说是没有差别的。 用完全类似的方法， 我们也可以很容易地证明 Diophantine 方程中未知数的取值是正整数还是整数对于讨论 Hilbert 第十问题来说也同样没有差别 (这一点请读者自行完成)。 这样我们就证明了后人在研究 Hilbert 第十问题时把解限制在自然数或正整数范围内的合理性。

 

      在本附录的最后， 我们还要来证明这样一点： 那就是如果存在确定 Diophantine 方程在某个范围 (比如整数、 自然数、 正整数等) 内是否有解的程序， 则同一程序也可以用来确定任意 Diophantine 方程组在同一范围内是否有解。 证明很简单： 因为 Diophantine 方程组 P_i(x₁, ..., x_k)=0 (i=1, ..., n) 在某一范围内有解的充要条件为 Diophantine 方程 P₁²+...+P_n² = 0 在同一范围内有解。 因此， 人们在对 Diophantine 方程做一般讨论的时侯， 事实上已经把 Diophantine 方程组包含在内了。

 

 

注释

1. 数学界对自然数是否包含零没有统一的约定， 这里我们用它表示零和正整数， 不习惯这一用法的读者可以自行改用 “非负整数” 这一术语。
2. Diophantus 通常被称为古希腊数学家， 但他究竟是不是古希腊人其实略有争议。
3. 人们提到 Diophantine 方程时通常指的就是整系数 Diophantine 方程， 因此 “整系数” 这一限定语常常被省略。
4. 比如 Fermat 大定理只含有三个未知数， 却花费了数学家们三百多年的时间才得以证明； 而 Euler 四次方假设 (Euler Quartic Conjecture) - 它猜测 x⁴+y⁴+z⁴=w⁴ 没有正整数解 - 所含的幂次只有四次， 却花费了数学家们两百多年的时间才得以否证。
5. 我们在 Lagrange 四平方定理 一文中叙述的 Lagrange 四平方定理是针对正整数的， 但它显然也适用于自然数， 因为两者唯一的差别 0 = 0²+0²+0²+0² 显然满足定理的要求。