浮点数

 

 

人们研制电子计算机的初衷就是为了用于科学计算。时至今日，尽管现在单片机应用领域宽广、色彩缤纷，但复杂计算仍不可或缺的内容。

   针的对定点数不能胜任复杂计算的缺点，人们在实践中约定了不同格式、不同精度的浮点数，实现了浮点运算。因为计算机只能识别二进制数，完成二进制数的运算，所以我们所说的浮点数一般都是指二进制浮点数。与定点数相比，浮点数能较好地兼顾表达式数值范围，能简捷地表示出很大或很小的数值。

   浮点由阶码和尾数两部分组成，阶码为带符号的整数，尾数为小于1带符号的小数（如尾数的绝对值还满足大于或等于1/2，则称该浮点数为规格化浮点数）。计算过程中主要以足够长的尾数来保证数据的精度，以阶杩来调整数模（绝对值）的大小（即改变小数点的位置），并自动进行符号处理。因此浮点数具有精度高、数的表达范围宽等特点，特别适用于计算过程复杂、精度要求高的场合。

    目前单片机常用的浮点数格式，不外乎有四种格式：三字节格式、IEEE-754标准格式、IEEE-754标准变形1和IEEE-754标准变形2，

共4种格式。

 

单片机浮点数格式说明

 

★ MCS-51三字节格式：

浮点数格式如下：

地址     eb        BY0         BY1
内容 SEEE EEEE MMMM MMMM MMMM MMMM

用三个字节表示，第一个字节的最高位为数符S，正数为0，负数为1，其余七位为阶码（二进制补码形式）；第二字节为尾数的高字节；第三字节为尾数的低字节，尾数用双字节ＢＣＤ码纯小数（原码）来表示。

例：已知 a=-123.4；b=0.7577；c=56.34；d=1.276；
用ＢＣＤ码浮点数表示时，分别为a=831234H；b=007577H；c=025634H；d=011276H。

★ MCS-51三字节浮点数规格化：
为了提高运算精度，正数的尾数最高位规定为1，负数的尾数的最高位规定为0，这种形式的浮点数为规格化数（又称浮点操作数）。运算之前所有的浮点数都应转成规格化数。
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★ IEEE-754标准的格式：

一个浮点数用两个部分表示，尾数和2的幂，尾数代表浮点上的实际二进制数，2的幂代表指数，指数的保存形式是一个0到255的8位值，指数的实际值是保存值(0到255)减去127，一个范围在-127到+128之间的值，尾数是一个24位值（代表大约7个十进制数），最高位MSB通常是1，因此省略不保存，一个符号位表示浮点数是正或负。

地址         eb      BY0        BY1       BY2
内容    SEEEEEEE E.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM

S （第31位）代表符号（数符）位1是负，0是正；
E 偏移127的幂，二进制阶码=(EEEEEEEE)-127；
. 小数点；
M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。此方法用最较少的位数实现了较高的有效位数，提高了精度。
零是一个特定值，幂是0 尾数也是0。

阶码的计算方法：
阶码采用指数的移码，阶码= 指数P+7FH
阶码（移码）eb=指数P+7FH
其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）

由1位符号位、8位指数、23位有效数组成。
能表示的数据范围为：±1.2×10^(-38)~3.4×10^38，超出范围为溢出。
精度为2-24 即5.9× 10-8。
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如果eb=P+7EH，那么指数P=int（Z）+1 ，
（广洲天龙AVR单片机浮点数格式定义的移码为7EH，而IEEE-754标准定义的是7FH，故我们取移码为7FH）
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* 在由二进制浮点数转为十进制定点数时，注意在尾数的左边有一个省略的小数点和1，这个1在浮点数的保存中经常省略,但在还原时应加上去。
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★ IEEE-754_1标准的格式：

地址         eb         BY0       BY1       BY2
内容    PtEEEEEEE S.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM

Pt 代表阶符，阶符视阶的正负而定；
S 代表符号（数符）位，1是负，0是正；
. 小数点在数符的右边；
E 代表幂偏移，即指数偏差；
M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。
阶码的计算方法：
（1）十进制整数（可带小数）：
阶码eb=指数P+7EH
其中：指数P=int（Z）+1，Z=ln（A）/ln（2）
（2）纯小数：
阶码eb=指数+7EH
其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）

注：IEEE-754_1主要用于PIC系列单片机浮点数格式
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★ IEEE-754_2标准的格式：

地址         eb       BY0        BY1      BY2
内容   PtEEEEEEE S.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM

Pt 代表阶符，阶符视阶的正负而定；
S 代表符号（数符）位1是负，0是正；
. 小数点在数符的右边；
E 代表幂偏移，即指数偏差；
M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。

阶码采用1字节移码，以80H~0FFH表示0~127，以01H~7FH表示-127~-1。
阶码的计算方法：
（1）十进制整数（可带小数）：
阶码eb=指数P+80H
其中：指数P=int（Z）+1，Z=ln（A）/ln（2）
（2）纯小数：
阶码eb=指数+80H
其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）

能表示的数据范围为：5.8×10^(-39)~1.7×10^38，超出范围为溢出。
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注：Pt 表示阶符，Pt=0表示阶码为正数；Pt=1表示阶码为负数
（如0.1的阶为-3，则 阶码=（-3）+ 80H=7DH ）

IEEE-754_1与IEEE-754_2只是阶码字节的内容不同，而尾数的内容是相同的。
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例：十进制数50.265化为32位规格化浮点数。
解 A=50.265，则Z=ln50.265/ln2，P=int(Z)+1，故P=6；
X=A/2P=50.265/26=0.785390625，将定点小数：0.785390625 转为二进制数为：
1100 1001 0000 1111 0101 1100B， 取其24位，检查24位是否为1，否则，将二进制数左移，直至二进制数的最高位为1；隐含尾数整数的1，将二进制数的最高位改为数的数符位（正数为0，负数为1）。
则：0100 1001 0000 1111 0101 1100B = 49H,0FH,5CH；
而阶码eb=P+80H=6+80H=86H
二进制浮点数为：86H, 49H,0FH,5CH

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★ 浮点BCD码的格式：

浮点ＢＣＤ码，是以纯小数（原码）来表示。小数点的位置由阶来确定。

[阶符.阶码]，数符.尾数（4字节），即带符号的阶码与带符号的尾数。

阶符：正数为“+”，可隐含；负数为“-”；
数符：正数为“+”，可隐含；负数为“-”；

阶码：根据小数点的位置来确定。
0.1-->阶符为“+”,数符为“+”，阶为00
0.01-->阶符为“-”,数符为“+”，阶为01
22.00-->阶符为“+”，数符为“+”，阶为02
-0.1-->阶符为“+”,数符为“-”，阶为00
-0.01-->阶符为“-”,数符为“-”，阶为01
-22.00-->阶符为“+”，数符为“-”，阶为02

阶-->这里所说的阶是十进制浮点数的阶,即为小数点的位置。“+”阶小数点的位置向右移；“-”阶小数点的位置向左移。
如： [阶符.阶码]，数符.尾数
-0.012345678，浮点BCD码为：[-01]，-12345780H
0.012345678，浮点BCD码为： [-01]，12345780H
0.12345678，浮点BCD码为： [00]，12345780H
12345678，浮点BCD码为： [08]，12345780H
-12345678，浮点BCD码为： [08]，-12345780H
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注：在单片机编程中定义为：
阶符：正阶为00H，负阶为FFH
数符：正数为00H，负数为FFH
为了与人们的习惯相一至，在这里仍采用“+，-”号来表示。
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★ 浮点数错误判断及提示：

以下是IEEE-754标准所能表达数据的范围，其它标准请参照，只溢出的范围有所不同而已。
FFFFFFFH 不是一个数，提示："输入有误"
7F80000H 正无穷大正溢出，提示："正溢出"
FF80000H 负无穷大负溢出，提示："负溢出"

附注：
（1）IEEE标准是美国电子电气工程师协会定义的国际标准浮点数格式；
（2）符号-表示数据的正负，在最高有效位（MSB）。负数的符号位为1，正数的符号位为0；
（3）有效数字-表示数据的有效数字，反映数据的精度。有效数字一般采用规格化形式，是一个纯小数，所以也被称为尾数、小数或分数。
（4）阶码与阶之间的换算公式为：移码（阶码）=补码（阶）+偏移量；阶=移码-偏移量
其中阶又称为指数；移码又称偏移码；80H（或7FH）为偏移量。

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四种浮点数对照表

输入数 据

51 三字节

IEEE-754 标准

IEEE-754_1

IEEE-754_2

0

000000H

00000000H

0000 0000H

0000 0000H

1

018000H

3F800000H

 

81000000H

-1

818000H

  

81800000H

0.5

008000H

3F000000H

 

80000000H

-0.5

808000H

  

80800000H

0.1

7DCCCDH

  

7D4CCCCDH

-0.1

FDCCCDH

  

7DCCCCCDH

π /180

7B8EFAH

  

7B0EFA35H

Ln 2

00B172H

  

80317218H

01B505H

  

813504F3H

E ≈ 2.7182818

02ADF8H

  

822DF854H

90

07B400H

  

87340000H

10 -10

5FDBE7H

  

5F5BE6FFH

10 10

229503H

  

A21502F9H

88.02969

07B00FH

  

87300F34H

π /2

01C910H

  

81490FDAH

100.25

07C880H

42C88000H

 

87488000H

50.265

06C90FH

 

84490F5CH

86490F5CH

-5

83A000H

C0A00000H

 

83A00000H

-12.5

 

C1480000H

 

84C80000H

-12.345

 

C145851EH

 

                                                    -----------待续-------------