关于牛顿迭代

第一次看见用牛顿迭代求平方根就感觉似乎跟均值不等式有关系：a(n+1)=[a(n)+a/a(n)]/2.

后来知道了原来牛顿迭代是与导数联系的。我用一般的公式a(n+1)=a(n)-f(a(n))/f'(a(n)),在算立方根时，得到的递推公式是a(n+1)=[2a(n)+a/a²(n)]/3，这跟我猜测的均值是有一定联系的，因为这等式左边用一次三元均值不等式就得到[2a(n)+a/a²(n)]/3>=a ^1/3

我想这个虽然不能用来证明迭代结果越来越接近要求的值，但是在得到实数的N次方根的时候至少可以不必再去用牛顿公式从头开始求了。比如开四次方时，根据均值不等式的性质就可以构造出来这样一个递推公式： a(n+1)=[3a(n)+a/a⁴(n)]/4。这个公式我没有验证，我想应该是对的吧。