hdu1695 (容斥原理)
来源:互联网 发布:javascript全选框实现 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 10:54
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695
题意:已知给定k,x,y求 1<=a<=x 1<=b<=y 中满足 gcd(a,b)=k 的(a,b)对数。(注意数对是无序的)。 1<=x,y<=10w, 0<=k<=10w
大体思路:
枚举[1..y]中每个数i 判断[1..min(x,i)]中有多少数与i互质,统计个数。(注意,枚举的是比较大的区间[1..y])。
显然如果i是质数,则[1..min(x,i)]中与i互质的个数是全体的个数或者i-1个。(取决于x和i的大小)。
当i不是质数时,i分解质因数后,质因数的次数不影响结果。我们看另外那个区间有多少个和i不互质(减一下就好了),于是我们只要看另外那个区间中有多少个数是i质因数的倍数就好了。
区间[1..w]中 p的倍数 显然有 w/p个。
我们枚举i的质因数利用容斥原理:
看另外那个区间有多少个数与i不互质。
容斥原理的具体如下:
区间中与i不互质的个数 = (区间中i的每个质因数的倍数个数)-(区间中i的每两个质因数乘积的倍数)+(区间中i的每3个质因数的成绩的倍数个数)-(区间中i的每4个质因数的乘积)+...
于是问题变成了统计每个数的不同质因数的个数而忽略次数。这个可以用筛法。具体做法如下:
对每个数保存一个真质因数的列表。初始每个列表的长度为0。然后从2开始,分别检查每个数的列表长度,如果列表长度不为0,则这个数是合数,跳过;如果这个长度为0,则我们找到了一个质数,同时再把这个数的倍数(不包含本身)的列表里加入这个数。
用到了欧拉函数,素因子分解,筛选法,组合数学上的容斥原理等,也不失为一道好题!!!
题目意思好懂,在[1...b]中选x,在[1....d]中选y,使gcd(x,y)=k,求不重复的对数
有一个小小的变形:在[1...b/k]中选x,在[1....d/k]中选y,使gcd(x,y)=k,求不重复的对数
我们让d>=b; 然后在[1....d/k]进行枚举,对于每一个i,我们只要在1...min(i-1,b)中找到与i互质数,记录个数,然后累加就得到结果了
当i<=b/k时,我们可以直接用欧拉函数计算出与i互质的个数 (当然要先进行因子分解,才能求欧拉函数)
当b/k<i<=d/k时,就比较难求了,我们用b/k减去与i不互质的数的个数得到,求与i不互质的数的个数时就用到容斥原理,设i的素因子分别的p1,p2...pk,则1..b/k中p1的倍数组成集合A1,p2的倍数组成集合A2,p3到A3.....pk到Ak, 由于集合中会出现重复的元素, 所以用容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数.
这算是一道比较复杂的数论题了,参照了大牛门的代码....没办法自己没有能力想出来;
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