【数论】整数的划分问题

          整数的划分问题是一个很经典的问题，它的变形也非常的多，总结了一下，大概有以下几种变形：

 

1) 将 N 划分为若干个正整数的和的划分数

 

2) 将 N 划分为若干个不同的正整数的和的划分数

 

3) 将 N 划分为不超过K 个正整数的和的划分数

 

4) 将 N 划分为不超过K 个不同正整数的和的划分数

 

5) 将 N 划分为最大数不超过K 的正整数的和的划分数

 

6) 将 N 划分为若干个连续正整数的和的划分数

 

ohoh，怎么这么多@@

 

 

变形(1): 将 N 划分为若干个正整数的和的划分数。比如 6，可以这样划分：

              6
             5 + 1
             4 + 2, 4 + 1 + 1
             3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
             2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
             1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

             所以答案应该是 11.

             分析：

                      根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

(a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

(b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

     因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

(a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，

     因此这种划分个数为f(n-m, m);

(b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

     因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

             因此，设dp[n][m] 表示将 n 划分为 最大数不超过 m 的划分个数，有

                              dp[n][m] = 1                                                    ( m = 1)

                              dp[n][m] = dp[n][m-1] + 1                              ( m = n)

                              dp[n][m] = dp[n][n]                                         ( m > n)

                              dp[n][m] = dp[n][m-1] + dp[n-m][m]             ( m < n)

Code:

         #include <cstdio>#include <cstring>#define MAXN 500using namespace std;int dp[MAXN][MAXN];int main(){int i,j;memset(dp,0,sizeof(dp));for(i = 1;i < MAXN; ++i)dp[i][1] = 1;for(i = 1;i < MAXN; ++i)for(j = 1;j < MAXN; ++j){if(i > j)dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];else if(i == j)dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;else dp[i][j] = dp[i][i];}}

 

 

变形(2):将 N 划分为若干个不同正整数的和的划分数   TOJ.3511  Staircases

             依然是DP，转移方程为 a[k][n]=a[k+1][n]+a[k+1][n-k];其中a[k][n]表示将n划分为不小于k种不同的数的划分法。

                                   初始化为 a[n][n]=1  ; a[k][n]=0 (k>n).

Code：

  #include <cstdio>#include <cstring>#define MAXN 500using namespace std;int dp[MAXN][MAXN];int main(){int i,j;memset(dp,0,sizeof(dp));for(i = 1;i < MAXN; ++i)dp[i][i] = 1;for(i = 2;i < MAXN; ++i)for(j = 1;j < i; ++j)dp[j][i] = 0;for(i = 2;i < MAXN; ++i)for(j = i-1;j >= 1; --j)dp[j][i] = dp[j+1][i] + dp[j+1][i-j];}

 

变形(3):将 N 划分为不超过K 个正整数的和的划分数

            解法：dp[i][j] 表示将 i 划分为 j 份的划分数，则转换为求 sigma( dp[N][ i ] )  (i <= K);

                        dp[i][j] 的转移方程为 dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j];

            详细见http://wurong81.spaces.live.com/blog/cns!5EB4A630986C6ECC!254.entry

Code:

#include <cstdio>#include <cstring>#define MAXN 500using namespace std;int dp[MAXN][MAXN];int main(){int i,j;// 求将某个数划分为 m 份的划分数for(i = 1;i < MAXN; ++i)for(j = 1;j <= (i<m?i:m); ++j)dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j];}

 

变形(4):将 N 划分为不超过K 个不同正整数的和的划分数

          解法：即为变形2的方程意义。a[k][n] 表示将 N 划分为不超过K份不同的数的和的划分数

 

变形(5):

变形(6): 这个最简单了。N 可以写为连续K(K >= 2)个正整数的和，则K <= sqrt(2*N);

               令 i 从 K 到 2 循环，如果 i 为奇数 且 N %i == 0,则可分解为 i 个数，第一个数为 N/i - i/2;

                                                   如果 i 为偶数 且 N %i == i/2，则可分解为i 个数，第一个数为 (N-1)/i - i/2 + 1;