复杂的整数划分问题

8:复杂的整数划分问题

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描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。 
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

输出

对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

样例输入

5 2

样例输出

233

提示

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2

第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

首先一个坑爹的地方是我TM以为输入只有一行。。。然后就直接cin>>n>>k。。。。mdzz，搞了我一小时，查不出错lol。

下面说说思路吧，其实n拆成k个数是很好想状态方程的，dp[n][k]代表把n拆成k个数的方法。为了让问题规模变小，开始考虑将n拆成k个数有哪些情况，可以分为第一个数是1还是大于1的情况，如果不是1，那这些方法的集合的总数就是dp[n-k][k]，也就是相当于每个数都减一，这样能够保证减完之后不会出现0，不禁想到了上学期的放苹果问题。还有一种情况是第一个数是1，就是dp[n-1][k-1]，所以状态转移方程就是把这两项相加即可，并不是很难。

然后第二问，拆成不同正整数的方法个数，这个玩意我就根本想不到怎么定义状态，中午农园电梯上问了一下TK，他说还是和第一问差不多的，dp[n][k]代表把n分成k个不同的数的方法。。。看来果然和高中考试一样，前几问往往会是后面的问题的铺垫lol。还是一样，分成第一个是不是1讨论，如果不是1，那么就是dp[n-k][k]，如果是1，一开始我TMzz地写成dp[n-1][k-1]，然后发现TM怎么和第一个问题一模一样。。。然后突然发现了问题，扔掉第一个1之后剩余部分并不是一个相同内容的子问题，因为剩余部分隐含着要求第一个数（也就是原来第二个数）大于1，但事实上子问题对于第一个数字是完全没有限定的。。。这TM就尴尬了，同时也就意味着不能这么分解子问题。那么还能怎么分解捏。。。然后想，如果每个数都减一，那么第一个1肯定就没有了，然后变成了dp[n-k][k-1],为什么可以这样呢。。。先惯例把1扔掉，然后剩下的部分就变成了把n-1分解成k-1个不同的数，同时第1个数是不小于2开始的，但是我们的要求是第一个数不小于1的，那如果把每个数都减一，那么就能保证分解是从1开始的，注意这时候总数就变成了n-1-(k-1)了，最后整理得到dp[n-k][k-1].

第三问其实原理和第二问差不多，都是要将第二个参数设置成将n分解成k个数之和，只不过第二问对于这些数的要求是不同，第三问变成了奇数。这里选择开两个数组，一个记录偶数，一个记录奇数。对于ji[n][k]，有两种情况，第一，有1，那么就扔掉1，剩下的数每个减一，变成ou[n-k][k-1]，若没有一，这里容易写错，我刚刚写成的是ou[n-k][k-1]其实是不对的，因为可能有多个1，把第一个1扔掉之后不一定能够保证就没有，残余的1了，那么怎么样才是正确的写法呢，应该是ji[n-1][k-1]，相当于把第一个1扔掉，剩下的部分进行奇数分解，同时由于能够保证剩下的n-1进行的分解也是从1开始的，符合我们对于子问题的定义，所以这个转移方程是正确的！至于偶数，那就很简单了，直接每个数减一，不用担心0的出现，直接就变成了ou[n-k][k]，这样第三问也就解决啦！

下面贴上代码

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int main(){int n, k;int num[60][60];int dif[60][60];int ji[60][60];int ou[60][60];while (cin >> n >> k){memset(num, 0, sizeof(num));memset(dif, 0, sizeof(dif));memset(ji, 0, sizeof(ji));memset(ou, 0, sizeof(ou));for (int i = 1; i <= n; ++i){num[i][1] = 1;}num[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i){for (int j = 2; j <= i; ++j){num[i][j] = num[i - j][j] + num[i - 1][j - 1];//divide i to j numbers(these numbers can be same)}}cout << num[n][k] << endl;//finish the first problemfor (int i = 1; i <= n; ++i){dif[i][1] = 1;}for (int i = 1; i <= n; ++i){for (int j = 2; j < i; ++j){dif[i][j] = dif[i - j][j - 1] + dif[i - j][j];}}int tmp = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i){tmp += dif[n][i];}cout << tmp << endl;//now finish the second problemfor (int i = 1; i <= n; ++i){if (i % 2 == 1){ji[i][1] = 1;}else{ou[i][1] = 1;}ji[i][i] = 1;}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 2; j < i; j++) {ji[i][j] = ji[i - 1][j - 1] + ou[i - j][j];ou[i][j] = ji[i - j][j];}}tmp = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i){tmp += ji[n][i];}cout << tmp<<endl;//now finish the third problem}return 0;}

#include<iostream>#include<cstring>#include<queue>#include<string>using namespace std;int dp[51][51];int dif[51][51];int ji[60][60];int main(){int n, k;while (cin >> n >> k){memset(dp, 0, sizeof(dp));memset(dif, 0, sizeof(dif));memset(ji, 0, sizeof(ji));for (int i = 1; i <= n; ++i){dp[i][i] = 1;dp[i][1] = 1;}for (int i = 2; i <= n; ++i){for (int j = 2; j <= k; ++j){dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j];}}cout << dp[n][k] << endl;//finish puzzle 1//finish puzzle 1for (int i = 2; i <= n; ++i){dif[i][1] = 0;}for (int i = 1; i <= n; ++i){dif[1][i] = 1;}for (int i = 1; i <= n; ++i){dif[0][i] = 1;}for (int i = 2; i <= n; ++i){for (int j = 2; j <= n; ++j){if (i >= j)dif[i][j] = dif[i - j][j - 1] + dif[i][j - 1];else{dif[i][j] = dif[i][i];}}}cout << dif[n][n] << endl;//finish puzzle 2for (int i = 1; i <= n; ++i){ji[i][1] = 1;ji[0][i] = 1;}for (int i = 1; i <= n; ++i){for (int j = 2; j <= n; ++j){if (i >= j){if (j % 2 == 0){ji[i][j] = ji[i][j - 1];}else{ji[i][j] = ji[i - j][j] + ji[i][j - 2];}}else{ji[i][j] = ji[i][i];}}}cout << ji[n][n] << endl;}return 0;}