catalan问题

卡塔兰数

是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数例。由比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814-1894）命名。卡塔兰数的一般公式为 C(2n,n)/（n+1）。 

性质

　　令h(0)＝1,h(1)＝1，catalan数满足递归式：

　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;

　　还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1

　　该递推关系的解为：h(n)= C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)1!) (n=1,2,3,...)

　　卡 塔兰数例的前几项为(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [注： n = 0, 1, 2, 3, … n]

　　1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 　　类似题目：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

 

问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？

　　解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）

　　不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。

　　不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。

　　不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数，和m个1的累计数。

　　此 后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个0和n＋1个1组成的一个排列。

　　反过来，任何一个 由n＋1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。

　　用上述方法建立了由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。

　　例如 10100101

　　是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位（显示为红色）出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。

　　反过来 10100010

　　对应于 10100101

　　因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有

　　P2n ＝ C（n 2n）— C（n＋1 2n）

　　这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan