【百科】逻辑代数

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逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。

目录

简介

逻辑代数中的几个概念

逻辑代数的基本规则

1. 代入规则
2. 对偶规则
3. 反演规则

逻辑函数的标准形式

1. 最小项
2. 最大项

逻辑函数的化简

其他

简介

逻辑代数中的几个概念

逻辑代数的基本规则

1. 代入规则
2. 对偶规则
3. 反演规则

逻辑函数的标准形式

1. 最小项
2. 最大项

逻辑函数的化简

其他

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简介

　　逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。

  

布尔

　　当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。 　　一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑； 　　另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。 　　依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。 　　即任意多状态的逻辑是完备的。 　　当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。 　　逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。

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逻辑代数中的几个概念

　　参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。

  

逻辑代数

　　正、负逻辑规定： 　　正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。 　　负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。 　　逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)

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逻辑代数的基本规则

代入规则

　　任何一个含有变量 X 的等式，如果将所有出现 X 的位置，都代之以一个逻辑函数 F，此等式仍然成立。

对偶规则

　　设 F 是一个逻辑函数式，如果将 F 中的所有的 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F'，这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等，则它们各自的对偶式 F' 和 G' 也相等。

  

逻辑代数

反演规则

　　当已知一个逻辑函数 F，要求 ¬F 时，只要把 F 中的所有 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，即得 ¬F。

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逻辑函数的标准形式

　　逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SP form)。 　　逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。

  

逻辑代数

最小项

　　对于 n 个变量的逻辑函数而言，它的与项如果包含 n 个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。

最大项

　　对于 n 个变量的逻辑函数而言，它的或项如果包含 n 个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。

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逻辑函数的化简

　　运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换，从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式，它们的判别标准有两条：(1)项数最少；(2)在项数最少的条件下，项内的文字最少。

  

逻辑代数

　　卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律，使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现，从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。

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其他

　　逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１两种逻辑值， 有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。 　　逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。 　　逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。 　　逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。 　　当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。 　　一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑； 　　另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。 　　依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。 　　即任意多状态的逻辑是完备的。 　　当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。 　　逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。 　　其规定： 　　1．所有可能出现的数只有0和1两个。 　　2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。 　　与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为： 　　0·0＝0 0·1＝0 1·0＝0 1·1＝1 　　或运算（逻辑或、逻辑加）定义为： 　　0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1 　　至此布尔代数宣告诞生。 　　二、基本公式 　　如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式： 　　A·A＝A A＋A=A 　　A·0＝0 A＋0=A 　　A·1＝A A＋1=1 　　上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式即告成立。 　　类代数 类代数是类逻辑的代数化。所谓类逻辑是从外延上理解的一阶一元谓词的逻辑。一元谓词的外延指称该谓词所适用的个体的类。由论域中所有个体组成的类叫全类，记作 1。不含有任何事物的类叫空类，记作0。考虑全类的所有子类，即包含于其中的类（包括1和0），令ａ,ｂ,с,…为这样的类变元。由论域中不属于ａ类的个体组成的类叫做ａ的补，记作ａ'。由或属于ａ类或属于ｂ类的个体组成的类叫做ａ与ｂ的逻辑和（并类）,记作ａ∪ｂ。由既属于 a类又属于 b类的个体组成的类叫做ａ与ｂ的逻辑积（交类），记作ａ∩ｂ，简记作ａｂ。如果ａ类与ｂ类所含的个体相同,则称ａ与ｂ等同,记作ａ=ｂ。ａ与ｂ不等同记作ａ≠ｂ。1和0是两个特定的类常元。',∪和∩是三种逻辑运算，分别叫类的取补、求和（加法）和求积（乘法）。此外，还可以通过定义引入包含于关系吇，例如把ａ吇ｂ定义为ａ∩ｂ' =0。于是自然有:对于任何类ａ,0吇ａ吇1。 　　在类代数中，不带有主词存在断定的直言命题ａAｂ、ａEｂ、ａIｂ和ａOｂ，可表示为ａ∩ｂ'=0、ａ∩ｂ=0、ａ∩ｂ≠0和ａ∩ｂ' ≠0。传统逻辑中三段论第1格 AAA式可表示为： 　　如果с∩ｂ' =0且ａ∩с' =0，则ａ∩ｂ' =0。第3格EIO式可表示为： 　　如果с∩ｂ=0且с∩ａ≠0，则ａ∩ｂ' ≠0。类代数的运算满足下表中列出的基本定律。 　　类代数的基本定律 　　幂等律　ａ∪ａ=ａ 　　ａ∩ａ=ａ 　　交换律　ａ∪ｂ=ｂ∪ａ 　　ａ∩ｂ=ｂ∩ａ 　　结合律　ａ∪(ｂ∪с)=(ａ∪ｂ)∪с 　　ａ∩(ｂ∩с)=(ａ∩ｂ)∩с 　　吸收律　ａ∪(ａ∩ｂ)=ａ 　　ａ∩(ａ∪ｂ)=ａ 　　分配律　ａ∪(ｂ∩с)=(ａ∪ｂ)∩(ａ∪с) 　　ａ∩(ｂ∪с)=(ａ∩ｂ)∪(ａ∩с) 　　幺元律　0∪ａ =ａ 　　0∩ａ =ａ 　　1∪ａ =1 　　0∩ａ =0 　　补余律　ａ∪ａ' =1 　　ａ∩ａ' =0 　　从这些定律出发，特别是只需以其中的交换律、分配律、前两个幺元律和补余律作为初始定律即公理，就可以推导出类逻辑的所有定律（定理）。类逻辑的内容比传统的三段论理论要丰富得多，大致相当于只包含一元谓词的一阶谓词逻辑（见谓词逻辑）。一般的谓词逻辑也可以用更进一步的代数方法处理，但已超出通常所谓的逻辑代数的范围。 　　命题代数 命题代数在结构上与类代数完全相同。只要对类代数中的符号另作命题逻辑的解释，或者干脆改为相应的命题逻辑符号，就得到命题代数。即把类变元改为命题变元p,q,ｒ,…；改为否定词塡（“并非”）；∪改为析取词∨（“或者”）；∩改为合取词∨（“并且”）。1和0分别解释为特定的逻辑上真的命题和逻辑上假的命题,或称有效命题和矛盾命题;＝表示两命题逻辑上等值。这时，塡、∨和∧作为命题运算正好满足形式上与类代数的基本定律相对应的定律，而整个命题代数可包括命题逻辑的全部内容。命题代数和类代数可以有各种形式的公理系统，尤其是都可以有关于布尔展开式的定理，它相当于命题逻辑中的优析取范式和优合取范式的定理。 　　逻辑代数与命题代数有所不同。它还可以把1和0分别解释为命题的真和假,令变元只取1和0为值,即令其为二值的真值变元,并把塡、∨和∧解释为真值运算,从而得到一种提供命题真值运算定律的真值代数。而且，在二值的真值代数中特别可以有定理“p=1或p=0”，但在一般的命题代数和类代数中却没有与此相应的定理。