筛法

筛法，是求不超过自然数N（N＞1）的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃（Eratosthenes，约公元前274～194年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。

　　具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。）工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。）

　　筛法与公式的关系： 　　素数普遍公式：　公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法： 　　

      （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 　　

      （二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<D≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。　

      （三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。 　　

      （四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式： 　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1) 　　其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。

　　（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示： 　　N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (2) 　　例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。

　　以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 　　

      由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。 　　例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。 　　

      k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。 　　

      k=3时, 　　

      ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| 　　

      ---------------------|---------|----------|--------|---------| 　　

      n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| 　　

      n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| 　　

      ------------------------------------------------------------ 　　

      求得了（7，7*）区间的全部素数。

　　仿此下去，可以求得任意大的数以内的全部素数。

　　文章（作者王晓明）。